Enunciado

Um cabo elétrico, de raio r 1 e condutividade térmica k c , encontra-se coberto por uma camada isolante cuja superfície externa tem raio r 2 e troca calor por convecção e por radiação com o ar circundante e a vizinhança, respectivamente. Quando uma corrente elétrica passa pelo cabo, há geração de energia térmica em seu interior a uma taxa volumétrica .

  1. Escreva as formas da equação da difusão térmica, em regime estacionário, para o isolamento e para o cabo. Verifique se essas equações são satisfeitas pelas seguintes distribuições de temperaturas:
  2. Esboce a distribuição de temperaturas, T ( r ) , no cabo e na camada de isolante, identificando as principais características.

  3. Utilizando a lei de Fourier, mostre que a taxa de transferência de calor por condução, por unidade de comprimento, através do isolamento pode ser representada por
  4. Usando um balanço de energia em uma superfície de controle envolvendo o cabo, obtenha uma expressão alternativa para q r ' , escrevendo seu resultado em termos de q e r 1 .

  5. Fazendo um balanço de energia em uma superfície de controle colocada ao redor da superfície externa da camada isolante, obtenha uma expressão na qual T s ,   2 possa ser determinada em função de q , r 1 , h , T ∞ , ε e T v i z .
  6. Considere condições nas quais uma corrente elétrica de 250   A atravessa um cabo cuja resistência elétrica por unidade de comprimento é R e ' = 0,005   Ω / m , com um raio r 1 = 15   m m e uma condutividade térmica k c = 200   W / ( m   .   K ) . Para k i = 0,15   W / ( m   .   K ) ; r 2 = 15,5   m m ; h = 25   W / ( m ²   .   K ) ; ε = 0,9 ; T ∞ = 25 ° C e T v i z = 35 ° C , calcule as temperaturas superficiais, T s ,   1 e T s ,   2 , bem como a temperatura T 0 na linha de centro do cabo.
  7. Mantendo todas as demais condições, calcule e represente graficamente T 0 , T s ,   1 e T s ,   2 como funções de r 2 para 15,5 ≤ r 2 ≤ 20   m m .

Passo 1

Fala aí! Partiu fortalecer nossos conhecimentos com essa questão aí!

Só de olhar o tamanho dessa questão dá nem vontade de fazer, né?

Juntos nós damos conta dessa questão gigante! Vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos com pelo começo… Letra a!

Ela ta pedindo pra gente escrever a equação da difusão térmica para o isolamento e para o cabo… Vamos começar pelo isolamento, assumindo estado estacionário… E ver se a distribuição de temperaturas dada satisfaz ela:

d d r   .   r   .   d T d r = 0

d d r   .   r   .   d T s ,   1   -   T s ,   1 - T s ,   2   .   1 - ( r 1 / r ) 1 - ( r 1 / r 2 ) d r = 0

d d r   .   r   .   0   -   T s ,   1 - T s ,   2   .   0 + ( r 1 / r ² ) 1 - ( r 1 / r 2 ) = 0

d d r   .   T s ,   1 - T s ,   2 l n   ( r 1 / r 2 ) = 0

Como nossa expressão dentro do colchete não depende de r , então sim! T ( r ) satisfaz a equação!

Agora vamos fazer o mesmo para o cabo!

q =   -   k c   .   1 r   .   d d r r   .   d T d r

q   k c   +   1 r   .   d d r r   .   d T s ,   1 + q   .   r 1 2 4   .   k c   .   1 - r ² r 1 2 d r = 0

q   k c   +   1 r   .   d d r r   .   0 + q   .   r 1 2 4   .   k c   .   0 - 2   .   r r 1 2 = 0

q   k c   +   1 r   .   d d r r   .   - q   .   r 1 2 4   .   k c   .   2   .   r r 1 2 = 0

q   k c   +   1 r   .   - q   .   r 1 2 4   .   k c   .   2 r 1 2 = 0

Nossa expressão dentro do parêntese não depende de r , então sim! T ( r ) satisfaz a equação!

Passo 3

Além disso a letra a pediu pra gente identificar as características da temperatura T ( r )

Bom, temos quatro pontos diferentes durante a curva para avaliar…

O primeiro é quando o gradiente é zero, pois ainda não sofreu alteração de temperatura, depois temos que quanto maior a temperatura também maior será o raio, na terceira parte temos uma descontinuidade e imediatamente depois temos uma queda de temperatura com aumento do raio… Show?

Agora vamos seguir para a letra b!

Passo 4

No caso da letra b, o enunciado pede pra gente mostrar que, partindo da lei de Fourier, a taxa de transferência de calor por condução é dada pela equação que ele nos apresentou… Bom, vamos testar!

A lei de Fourier diz o seguinte:

q r = - k   .   A r   .   d T d r

q r = - k   .   2   .   π   .   r   .   d T d r

Substituindo nossa distribuição de temperatura:

q r ' =   - k s   .   2   .   π   .   r   .   d T s ,   2 +   T s ,   1 - T s ,   2   .   l n ( r / r 2 ) l n ( r 1 / r 2 ) d r

q r ' =   - k s   .   2   .   π   .   r   .   0   +   T s ,   1 - T s ,   2   .   1 / r l n ( r 1 / r 2 )

q r ' =   2   .   π   .   k s   .     T s ,   1 - T s ,   2 l n ( r 2 / r 1 )

Opa! Conseguimos mostrar o que a questão queria… Mas ainda não acabou por aí… A letra b, ainda pede para fazer um balanço de energia, pra gente conseguir uma expressão alternativa para q r

Bom, o nosso balanço de energia ficaria assim:

E e n t r a d a - E s a í d a = 0

q g e r a ç ã o - q r = 0

q r = q g e r a ç ã o

q r = A   .   q

q r = π   .   r 1 2   .   q

Conseguimos! Acabamos com a letra b!

Passo 5

Na letra c, precisamos fazer um balanço de energia em uma superfície de controle coincidente com a superfície externa da camada de isolamento… Vamos lá!

E e n t r a d a - E s a í d a = 0

q r - q c o n v e c ç ã o - q r a d i a ç ã o = 0

q r - h   .   A s   .   T s ,   2 - T ∞ - ε   .   A s   .   σ   .     T s ,   2 4 - T s u p e r f í c i e 4 = 0

E para deixar em função das variáveis que o enunciado pediu, precisamos substituir a área A s = 2   .   π   .   r 2 e o q r que achamos no passo anterior!

π   .   r 1 2   .   q - h   .   2   .   π   .   r 2   .   T s ,   2 - T ∞ - ε   .   2   .   π   .   r 2   .   σ   .     T s ,   2 4 - T s u p e r f í c i e 4 = 0

Prontinho! A letra c já foi!

Passo 6

Agora vamos de letra d…

Ela nos dá vários dados e pede pra gente calcular as temperaturas no reator e na superfície externa do isolamento, ou seja, ela quer o T s ,   1 e o T s ,   2 !

Pra fazer isso precisaremos usar as equações que desenvolvemos até agora, beleza?

Vamos começar usando a equação do passo 4 para encontrar o nosso T s ,   2 :

π   .   r 1 2   .   I 2   .   R e ' π   .   r 1 2 - h   .   2   .   π   .   r 2   .   T s ,   2 - T ∞ - ε   .   2   .   π   .   r 2   .   σ   .     T s ,   2 4 - T s u p e r f í c i e 4 = 0

π   .   0,015 ²   .   250 2   .   0,005 π   .   0,015 ² - 25   .   2   .   π   .   0,0155   .   T s ,   2 - 298 -

0,9   .   2   .   π   .   0,0155   .   5,67   .   10 - 8   .     T s ,   2 4 - 308 4 = 0

312,5 - 2,435   .   T s ,   2 - 298 - 0,4   .   10 - 8   .     T s ,   2 4 - 308 4 = 0

312,5 - 2,435   .   T s ,   2 + 752,63 - 0,4   .   10 - 8   .     T s ,   2 4 + 36 = 0

- 2,435   .   T s ,   2 - 0,4   .   10 - 8   .     T s ,   2 4 =   - 312,5 - 752,63 - 36

2,435   .   T s ,   2 + 0,4   .   10 - 8   .     T s ,   2 4 =   1074,13

T s ,   2 = 395   K

ou

T s ,   2 = 122 ° C

Show! Agora podemos substituir o valor de T s ,   2 na equação da primeira parte do passo 4:

q r ' =   2   .   π   .   k s   .     T s ,   1 - T s ,   2 l n ( r 2 / r 1 )

π   .   r 1 2   .   q =   2   .   π   .   k s   .     T s ,   1 - T s ,   2 l n ( r 2 / r 1 )

π   .   r 1 2   .   I 2   .   R e ' π   .   r 1 2 =   2   .   π   .   k s   .     T s ,   1 - T s ,   2 l n ( r 2 / r 1 )

π   .   0,015 2   .   250 2   .   0,005 π   .   0,015 ² =   2   .   π   .   0,15   .     T s ,   1 - 395 l n ( 15,5 / 15 )

312,5 =   0,94   .     T s ,   1 - 395 0,033

T s ,   1 = 406   K

ou

T s ,   1 = 133 ° C

Agora só falta o T 0 … Vamos nessa!

T 0 = T ( 0 )

T 0 = T s ,   1 + q   .   r 1 2 4   .   k c

T 0 = T s ,   1 +   I 2   .   R e ' π   .   r 1 2   .   r 1 2 4   .   k c

T 0 = 133 + 250 2   .   0,005 π   .   0,015 ²   .   0,015 ² 4   .   200

T 0 = 133,1 ° C

Uhul! Só a letra e agora!

Passo 7

A letra e, quer que a gente faça um gráfico de T s ,   1 ou T s ,   2 em função de r 2 , com a seguinte condição:

15,5 ≤ r 2 ≤ 20   m m

Sendo a curva azul correspondente a parte interna e a curva verde a parte externa.

Show!! Arrasamos!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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