Enunciado

Um modelo em escala 1/10 de um conjunto cavalo-reboque é testado em um túnel de vento. A área frontal do modelo é A m = 0,1   m 2 . Quando testado a V m = 75   m / s em ar-padrão, a força de arrasto medida é F D = 350   N . Avalie o coeficiente de arrasto para o modelo nas condições dadas. Admitindo que o coeficiente de arrasto seja o mesmo para modelo e protótipo, calcule a força de arrasto sobre uma carreta protótipo a uma velocidade de estrada de 90 km/h. Determine a velocidade do ar na qual o modelo deve ser testado para assegurar resultados dinamicamente semelhantes, se a velocidade do protótipo for 90 km/h. Esta velocidade no ar é prática? Sim ou não? Por quê?

Passo 1

Neste problema é pedido o coeficiente de arrasto em um modelo, bem como a força de arrasto segundo uma dada condição de escoamento.

Para resolver tal problema será utilizada a expressão do coeficiente de arrasto:

C D = F D 1 2 ρ V 2 A

Além disso será necessário utilizar a semelhança dinâmica de Reynolds para a obtenção da velocidade do escoamento no modelo:

R e m = R e p

Como parâmetros conhecidos têm:

- escala do modelo: L m L p = 1 10 ;

- área frontal do modelo: A m = 0,1   m 2 ;

- velocidade no modelo: V m = 75   m / s ;

- força de arrasto no modelo: F D = 350   N ;

- velocidade no protótipo: V p = 90   k m / h .

Passo 2

A obtenção do coeficiente de arrasto no modelo pode ser realizada a partir da expressão:

C D m = F D m 1 2 ρ m V m 2 A m

A partir da Tabela A.8 (ar) a massa específica do ar a 20° é:

ρ m = ρ 20 ° C = 1,21   k g / m 3

Então, como os parâmetros numéricos conhecidos:

C D m = 350 1 2 × 1,21 × 75 2 × 0,1

Logo, o coeficiente de arrasto do modelo é de:

C D m = 1,0285

Passo 3

Admitindo semelhança do coeficiente de arrasto pode-se escrever:

C D m = C D p

F D m 1 2 ρ m V m 2 A m = F D p 1 2 ρ p V p 2 A p

Sendo que a força de arrasto do protótipo é escrita como:

F D p = F D m ρ p ρ m V p V m 2 A p A m

Note que L m L p 2 = A m A p = 1 10 2 e que o fluido no modelo e protótipo é o mesmo ( ρ p = ρ m ).

Então, usando os parâmetros numéricos conhecidos:

F D p = 350 × 90 / 3,6   75 2 10 1 2

A força de arrasto no protótipo vale:

F D p = 3,89   k P a

Passo 4

Para obter a velocidade do ar no modelo considerando velocidade do protótipo será necessário aplicar a semelhança de Reynolds:

ρ m V m L m μ m = ρ p V p L p μ p

Logo, a velocidade do modelo pode ser escrita como:

V m = V p ρ p ρ m L p L m μ m μ p

Considerando que o fluido utilizado no protótipo e modelo seja o mesmo ( ρ p = ρ m e μ p = μ m ), então:

V m = V p L p L m

Utilizando os parâmetros numéricos conhecidos:

V m = 90 3,6 × 10 1

A velocidade do modelo vale:

V m = 250   m / s

Passo 5

Para checar se a velocidade do ar no modelo é prática ou não deve-se avaliar se essa velocidade implicará em escoamento compressível ou incompressível.

Para isso é necessário o cálculo do número de Mach (M):

M = V m c

Sendo c a velocidade do som, cuja expressão para gás ideal é dada por:

c = k R T

A partir da Tabela A.6, considerando ar a 20°C:

c = 1,4 × 286,9 × ( 20 + 273,15 )

Logo, a velocidade do som vale:

c = 343,1   m / s

Calculando o número de Mach:

M = 250 343,1 = 0,73

Como M = 0,73 < 0,3 , pode-se afirmar que o escoamento é compressível.

Assim, tal velocidade é impraticável.

Resposta

C D m = 1,0285

F D p = 3,89   k P a

V m = 250   m / s

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