Enunciado

Foi sugerido, no projeto de um “sprinkler” agrícola, que um elemento estrutural fosse mantido fixo por meio de um arame esticado ao longo da linha de centro de um tubo; acreditava-se que um arame relativamente fino teria pouco efeito sobre a queda de pressão para uma dada vazão. Usando o resultado do Problema 8.56, deduza uma expressão que dê a variação percentual em queda de pressão como uma função da razão entre o diâmetro do arame e o diâmetro do tubo para escoamento laminar. Trace um gráfico da variação percentual na queda de pressão como uma função da razão de raios k para 0,001 ≤ k ≤ 0,10.

Passo 1

Sabemos do problema 8.56 que a vazão para este caso é:

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x ( 1 - k 4 ) - 1 - k 2 2 l n ⁡ ( 1 / k )

Isolando o gradiente de pressão, temos que:

∂ p ∂ x = 8 μ Q π R 4 1 ( 1 - k 4 ) - 1 - k 2 2 l n ⁡ ( 1 / k )

Considerando o caso onde o k → 0   , temos:

∂ p ∂ x = 8 μ Q π R 4

Lembrando que:

∂ p ∂ x = ∆ p L

A variação percentual pode ser encontrada por:

P = ∆ p L - ∆ p L k ∆ p L k = 1 ( 1 - k 4 ) - 1 - k 2 2 l n ⁡ ( 1 / k ) - 1

Para pequenos k tem-se:

P = 1 - 1 - 1 ln ⁡ 1 k 1 - 1 ln ⁡ 1 k

Com isso temos a expressão que da a variação percentual em função da razão entre o diâmetro do arame e o diâmetro do tubo:

P = - 1 ln ⁡ k . 1 + 1 ln ⁡ k . 100

Com essa equação é possível monta um gráfico da porcentagem em função do k:

Resposta

P = - 1 ln ⁡ k . 1 + 1 ln ⁡ k . 100

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