Enunciado

Moldes de ferro fundido ou de aço são usados em máquinas rotativas de eixo horizontal para a fabricação de peças fundidas tubulares. Uma carga de metal líquido é vazada dentro do molde giratório. A aceleração radial permite a obtenção de espessuras de parede aproximadamente uniformes. Um tubo de aço, com comprimento L = 2   m , raio externo r o = 0,15   m e raio interno r i = 0,10   m , deve ser fabricado para esse processo. Para obter espessura aproximadamente uniforme, a velocidade angular mínima deve ser de 300 rpm. Determine (a) a aceleração radial resultante sobre a superfície interior do revestimento de aço e (b) a pressão máxima e a pressão mínima na superfície do molde.

Passo 1

Tá legal, vamos começar esse exercício escrevendo a aceleração radial:

a r = - V 2 r

No entanto, nós sabemos que a velocidade linear pode ser escrita em função da velocidade angular da seguinte forma:

V = ω r

Então, substituindo essa expressão na equação anterior, temos:

a r = - ω r 2 r → a r = - ω 2 r

E, nós não teremos componente de aceleração nas direções θ e z , então, temos:

a θ = a z = 0

Agora, sabemos que a gravidade irá influenciar nos movimentos do fluido, então, tomando θ como sendo o ângulo feito com a vertical, teremos:

g r = - g c o s θ

g θ = g s e n θ

g z = 0

Então, agora podemos calcular a aceleração radial resultante sobre a superfície interior do revestimento de aço. Antes disso, só precisamos converter a rotação para radianos por segundo, então, temos:

ω = 300   r o t m i n 1   m i n 60   s 2 π   r a d 1   r o t → ω = 31,4   r a d / s

Então a aceleração será:

a r = ω 2 r = 31,4 2 0,1 → a r = 98,7   m / s 2

Passo 2

Agora, sabemos que podemos escrever a equação para a pressão hidrostática na direção r como:

- ∂ p ∂ r + ρ g r = ρ a r → ∂ p ∂ r = ρ g r - ρ a r

Então, substituindo as expressões encontradas para a aceleração no passo 1, temos:

∂ p ∂ r = ρ - g c o s θ - ρ - ω 2 r → ∂ p ∂ r = ρ ω 2 r - ρ g c o s θ

Agora, aplicando a equação na direção θ , temos:

∂ p ∂ θ = ρ r g θ - ρ r a θ

Substituindo os valores encontrados no passo 1, temos:

∂ p ∂ θ = ρ r g s e n θ - ρ r 0 → ∂ p ∂ θ = ρ g r s e n θ

E, por fim, na direção z teremos:

∂ p ∂ z = ρ g z - ρ a z

Substituindo os valores conhecidos, temos:

∂ p ∂ z = ρ 0 - ρ 0 → ∂ p ∂ z = 0

Então, o diferencial de pressão pode ser escrito como:

d p = ∂ p ∂ r d r + ∂ p ∂ θ d θ

Substituindo as expressões encontradas acima, chegamos em:

d p = ρ ω 2 r - ρ g c o s θ d r + ρ g r s e n θ d θ

Passo 3

Agora o que temos que fazer é integrar a expressão obtida no passo 2. Só que nesse caso, nossa função depende de r e θ . Então, precisamos integrar duas vezes, uma em cada variável e depois encontrar o valor do fator integrante. Vamos começar tomando a derivada da expressão encontrada no passo 2 com relação a r :

∂ p ∂ θ θ = ρ ω 2 r - ρ g c o s θ

Agora vamos integrar a expressão para d p em função de r , integrando de r i até uma distância r qualquer, temos:

∫ d p = ∫ r i r ρ ω 2 r - ρ g c o s θ d r + f θ

Resolvendo as integrais, temos:

p - p r i = ρ ω 2 r 2 2 - ρ g r c o s θ r i r + f ( θ )

Sabendo que para r = r i → p = p a t m e substituindo os limites de integração, temos:

p - p a t m = ρ ω 2 2 r 2 - r i 2 - ρ g c o s θ r - r i + f θ

Passo 4

Agora, analisando a derivada da pressão em relação a θ , temos:

∂ p ∂ θ r = ρ r - r i g s e n θ + d f d θ

E, essa expressão deve ser igual a:

∂ p ∂ θ r = ρ r g s e n θ

Dessa forma, igualando as duas expressões, temos:

ρ r - r i g s e n θ + d f d θ = ρ r g s e n θ → d f d θ = ρ r i g s e n θ

Então, integrando essa expressão em θ , chegamos na função f :

f = - ρ r i g c o s θ + C

E, agora, para obter o valor da constante C , vamos usar a condição de contorno conhecida, que nos dá a pressão atmosférica para r = r i , então, temos:

p r i , θ = p a t m

p - p a t m = ρ ω 2 2 r 2 - r i 2 - ρ g c o s θ r - r i - ρ r i g c o s θ + C

p a t m - p a t m = ρ ω 2 2 r i 2 - r i 2 - ρ g c o s θ r i - r i - ρ r i g c o s θ + C

0 = - ρ r i g c o s θ + C → C = ρ r i g c o s θ

Então a equação para a pressão será:

p - p a t m = ρ ω 2 2 r 2 - r i 2 - ρ g c o s θ r - r i - ρ r i g c o s θ + ρ r i g c o s θ

p - p a t m = ρ ω 2 2 r 2 - r i 2 - ρ g c o s θ r - r i

Passo 5

Agora para descobrir o valor da pressão máxima, sabemos que ela ocorre na superfície, ou seja r = r o , e para θ = π , então, teremos:

p - p a t m = ρ ω 2 2 r o 2 - r i 2 - ρ g c o s π r o - r i

Vamos obter um valor de pressão manométrica, então faremos p a t m = 0 , dessa forma, a equação se torna:

p = ρ ω 2 2 r o 2 - r i 2 - ρ g c o s π r o - r i

Substituindo os valores conhecidos na equação acima, temos:

p m á x = 7800 ( 31,4 ) 2 2 0,15 2 - 0,1 2 - 7800 9,81 - 1 0,15 - 0,1 → p m á x = 51891,5   P a

E, da mesma forma, sabendo que a pressão mínima ocorre na superfície do molde, em r = r o e θ = 0 , temos:

p m í n = 7800 ( 31,4 ) 2 2 0,15 2 - 0,1 2 - 7800 9,81 1 0,15 - 0,1 → p m í n = 44239,6   P a

Resposta

a r = 98,7   m / s 2

p m á x = 51891,5   P a

p m í n = 44239,6   P a

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