Enunciado

Em muitas ocasiões, precisamos transformar uma velocidade de coordenadas cartesianas ( x ,   y ,   z ) em coordenadas cilíndricas ( r ,   θ ,   z ) (ou vice-versa). Usando a Fig. P9–13 como guia, transforme os componentes de velocidade cilíndricos ( u r ,   u θ ,   u z ) em componentes cartesianos de velocidade ( u ,   v ,   w ) . (Dica: Como o componente z da velocidade permanece o mesmo em tal transformação, precisamos apenas considerar o plano xy, como na Fig.

P9–13).

Passo 1

Bora seguir?

Então siiimboraaa..

Vamos colocar os ângulos que podemos observar na figura:

Agora que já achamos os ângulos nós podemos achar o u r em relação ao eixo x e ao eixo y.

Quando observamos na Figura nós vemos:

u r x = u r . cos ⁡ θ

u r y = u r . s en ⁡ θ

A mesma coisa para u θ :

u θ x = - u θ . s en ⁡ θ

u θ y = u θ . co s ⁡ θ

Chamaremos a velocidade da partícula no eixo x por u e no eixo y por v .

Portanto, para acha-los nós devemos somar estas duas componentes, ok?

u = u r x + u θ x = u r . cos ⁡ θ - u θ . sen ⁡ θ

v = v r x + v θ x = u r . sen ⁡ θ + u θ . cos ⁡ θ

O valor da velocidade na direção z continua igual durante a transformação:

w = u z

Sendo assim:

u ,   v ,   z = u r . cos ⁡ θ - u θ . sen ⁡ θ ,   u r . sen ⁡ θ + u θ . cos ⁡ θ ,   u z

Tranquilinha, não foi?

Resposta

u ,   v ,   z = u r . cos ⁡ θ - u θ . sen ⁡ θ ,   u r . sen ⁡ θ + u θ . cos ⁡ θ ,   u z

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