Enunciado

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Determine se a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre raios diferentes para os campos de escoamento dos vórtices (a) V → = ω r e → θ e (b) V → = e → θ K / 2 π r .

Passo 1

Como nesse exercício, tanto para as letras (a) e (b) os campos de escoamento não possuem componentes na direção e → r , então para podermos aplicar Bernoulli entre raios diferentes, os escoamentos devem ser irrotacionais.

Sabemos que para um escoamento ser irrotacional, devemos ter:

∇ × V → = 0

Passo 2

Vamos começar verificando a condição para a letra (a), dessa forma, temos:

∇ × V → = e → r . ∂ ∂ r + e → θ . 1 r . ∂ ∂ θ + k → . ∂ ∂ z × ω r e → θ

∇ × V → = e → r × e → θ . ∂ ∂ r ω r + e → r × ω r . ∂ e → θ ∂ r + e → θ × e → θ . 1 r . ∂ ω r ∂ θ + e → θ × ω r r . ∂ e → θ ∂ θ

Bom, como nosso e → θ não depende de r , podemos zerar o segundo termo da equação acima, e como temos a derivada de ω r em relação a θ , podemos zerar esse outro termo, então, resolvendo a equação anterior, temos:

∇ × V → = ω k → + e → θ × ω - e → r → ∇ × V → = 2 ω k →

Sendo assim o escoamento não é irrotacional e não podemos aplicar a equação de Bernoulli nesse caso.

Passo 3

Agora para a letra (b), temos:

∇ × V → = e → r . ∂ ∂ r + e → θ . 1 r . ∂ ∂ θ + k → . ∂ ∂ z × K 2 π r . e → θ

∇ × V → = e → r × e → θ . ∂ ∂ r K 2 π r + e → r × K 2 π r . ∂ e → θ ∂ r + e → θ × e → θ . 1 r . ∂ K 2 π r ∂ θ + e → θ × K 2 π r r . ∂ e → θ ∂ θ

Bom, como nosso e → θ não depende de r , podemos zerar o segundo termo da equação acima, e como temos a derivada de K / 2 π r em relação a θ , podemos zerar esse outro termo, então, resolvendo a equação anterior, temos:

∇ × V → = k → - K 2 π r 2 + e → θ × - K 2 π r 2 - e → r

∇ × V → = k → - K 2 π r 2 + K 2 π r 2 k → → ∇ × V → = 0

Dessa forma, esse escoamento é irrotacional e podemos aplicar a equação de Bernoulli entre raios diferentes.

Resposta

∇ × V → = 2 ω k →

∇ × V → = 0

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