Enunciado

Neste capítulo, discutimos a rotação de corpo sólido (Figura PI 0-93) como um exemplo de um escoamento sem viscosidade que é também rotacional. As componentes de velocidade

são u r =   0 , u θ = ω r e u z =   0 . Calcule o termo viscoso da componente u da equação de Navier-Stokes e discuta. Verifique que esse campo de velocidade é realmente rotacional calculando a componente z da vorticidade.

Passo 1

Vamos calcular o termo viscoso para o campo de velocidade especificado e mostrar que o fluxo é rotacional!

Para isso vamos considerar um escoamento permanente, bidimensional no plano r - θ

μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 u θ ∂ θ 2 - 2 r 2   ∂ u r ∂ θ + ∂ 2 u θ ∂ z 2  

Sabendo que u r =   0 , u θ = ω r , u z =   0 , temos:

μ ω r - ω r + 0 - 0 + 0 = 0

Os termos viscosos são zero, isso quer dizer que não existem forças viscosas líquidas atuando sobre elementos fluidos. Maaas isso não significa necessariamente que o fluxo é invíscido! Também pode significar que o fluxo é irrotacional, pois os termos viscosos desaparecem

em fluxos inviscíveis e irrotacionais.

Passo 2

Agora vamos calcular a componente z da vorticidade:

ζ z = 1 r ∂ r u θ ∂ r - ∂ u r ∂ θ = 1 r ∂ r ( ω r ∂ r - ∂ ( 0 ) ∂ θ = 2 ω

Como a vorticidade é diferente de zero, esse campo de fluxo é rotacional!!

Como o fluxo não é irrotacional, a única forma de a força viscosa ser zero é se o escoamento for invícito! Logo esse campo de escoamento e invícito!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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