Enunciado

A queda de pressão por unidade de comprimento Δ p / L em um duto rotativo poroso depende da velocidade média V, da massa específica ρ , da viscosidade μ , da altura h do duto, da velocidade de injeção na parede v p e da velocidade de rotação Ω . Usando ( ρ , V , h ) como variáveis repetitivas, reescreva essa relação em forma adimensional.

Passo 1

E aí, tranquilidade? Bora encarar mais esse desafio da mecânica dos fluidos? Aqui vai rolar muito algebrismo, mas você vai tirar de letra!

Primeiro de tudo vamos dar as dimensões das variáveis do nosso sistema!!!

Δ p L = M L - 2 T - 2

V = L T - 1

ρ = M L - 3

μ = M L - 1 T - 1

h = L

v w = L T - 1

Ω = T - 1

Temos 7 variáveis (n) e temos 3 dimensões j (MLT), logo o número de grupos pi que precisamos são de 7-3 = 4.

Vamos escrever eles aqui!

Π 1 = ρ a V b h c Δ p L

Π 2 = ρ a V b h c μ - 1

Π 3 = ρ a V b h c Ω

Π 4 = ρ a V b h c v w

Passo 2

Vamos fazer o grupo 1 e depois para não ficar maçante vamos fazer analogias aos outros grupos para resolvermos esse problema!!!

Π 1 = ρ a V b h c Δ p L = M L 3 a L T b L c M L 2 T 2 = M 0 L 0 T 0

Agora vamos montar nosso sistema de equações para cada unidade base!!

M: a + 1 = 0 → a = - 1

L: - 3 a + b + c - 2 = 0 → 3 + b + c - 2 = 0 → 1 + b + c = 0 → b + c = - 1

T: - b - 2 = 0 → b = - 2

Resolvendo o sistema linear acima, vamos obter os valores de b = - 2 e c = 1

Passo 3

Note que podemos fazer esse mesmo passo-a-passo para todos os outros grupos adimensionais:

Π 2 = ρ a V b h c μ - 1 = M L 3 a L T b L c M L T - 1 = M 0 L 0 T 0

Π 3 = ρ a V b h c Ω = M L 3 a L T b L c T - 1 = M 0 L 0 T 0

Π 4 = ρ a V b h c v w = M L 3 a L T b L c L T - 1 = M 0 L 0 T 0

Ao final de resolver cada sistema linear para os respectivos grupos adimensionais, você vai obter os seguintes valores para cada expoente:

Grupo 2: a = b = c = 1

Grupo 3 : a = 0, b = -1 e c = 1

Grupo 4: a = c = 0, b = -1

Passo 4

Ao final, podemos escrever então Π 1 em função de todos os outros grupos encontrados!

Π 1 = f Π 2 ,   Π 3 ,   Π 4

Δ p L h ρ V 2 = f ρ V h μ , Ω h V , v w V

Resposta

Δ p L h ρ V 2 = f ρ V h μ , Ω h V , v w V

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar uma expressão para o período de oscilação de um pêndulo simples, de comprimento l , que oscila com amplitude reduzida devido unicamente à ação da gravidade.
A função representativa de um certo fenômeno é f ρ ; μ ; v ; F ; c ; L = 0 . Onde c = velocidade do som e L é o comprimento característico qualquer. Como no laboratório os ensaios ...
Experiências mostram que a queda de pressão para escoamento através de uma placa de orifício de diâmetro d montada em um trecho de tubo de diâmetro D pode ser expressa como Δ p = p...
Se um objeto for leve o suficiente, ele pode ser suportado sobre a superfície de um fluido pela tensão superficial. Testes devem ser realizados para investigar este fenômeno. O pes...
A velocidade, V , de uma onda gravitacional na superfície livre para águas profundas é uma função do comprimento de onda, λ , da profundidade, D , da massa específica, ρ , e da ace...
A velocidade média, u _ , para escoamento turbulento em um tubo ou em uma camada­ limite pode ser correlacionada, usando a tensão de cisalhamento na parede, τ w , a distância da p...
A energia liberada durante uma explosão, E , é uma função do tempo t após a detonação, do raio R da explosão no tempo t , e da pressão do ar ambiente p , e de sua massa específica...
Em uma experiência de mecânica dos fluidos em laboratório, um tanque de água de diâmetro D é drenado a partir de um nível inicial, h 0 . O orifício de drenagem, perfeitamente arred...
Ondas capilares são formadas na superfície livre de um líquido como resultado da tensão superficial. Elas têm comprimentos de onda curtos. A velocidade de uma onda capilar depende ...
A potência por unidade de área de seção transversal, E , transmitida por uma onda sonora, é uma função da velocidade da onda, V , da massa específica do meio, ρ , da amplitude da o...
O torque, T , de uma máquina manual para polir automóvel é uma função da velocidade de rotação, ω , da força normal aplicada, F , da rugosidade superficial do automóvel, e , da vis...
Sabe-­se que a capacidade de carga, W , de um mancal de deslizamento depende do diâmetro, D , do comprimento, l , da folga, c , além da velocidade angular, ω , e da viscosidade do ...