Enunciado

Uma parede plana, com propriedades constantes e sem geração interna de calor, está inicialmente a uma temperatura uniforme T i . De repente, a superfície em x   =   L é aquecida pelo contato com um fluido à temperatura T ∞ , com um coeficiente de transferência de calor por convecção h . No mesmo instante, o aquecedor elétrico é energizado, fornecendo um fluxo térmico constante q 0 ' ' em x   =   0 .

(a) Em coordenadas T   -   x , esboce as distribuições de temperaturas para as seguintes condições: condição inicial ( t   ≤   0 ) , condição de regime estacionário ( t   →   ∞ ) , e dois tempos intermediários.

(b) Em coordenadas q x ' ' -   x , esboce os fluxos térmicos correspondentes às quatro distribuições de temperaturas da parte (a).

(c) Em coordenadas q x ' ' –   x , esboce os fluxos térmicos nas posições x   =   0 e x   =   L . Ou seja, mostre qualitativamente como ( 0 ,   T ) e ( L ,   T ) variam com o tempo.

(d) Desenvolva uma expressão para a temperatura no regime estacionário da superfície do aquecedor, T ( 0 ,   ∞ ) , em termos de q 0 ' ' ,   T ∞ ,   k ,   h e L .

Passo 1

Vamos lá! primeiro vamos entender nosso problema, o problema diz que se trata de um sistema unidimensional, logo a troca de calor só ocorre em uma direção, vamos fazer nosso diagrama pra facilitar nossa vida.

Origem e sentido do aquecimento da parede que depois perde calor para um fluido.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   u n i d i m e n s i o n a l

I I - N ã o   h á   g e r a ç ã o   i n t e r n a   d e   c a l o r

I I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

Passo 2

(a)

Tendo tudo isso em mente vamos a nossa letra (a), o gráfico de T ( x ,   t ) . Para isso vamos escrever nossa lei de Fourier (equação 2.21 ).

Como nossa condução é unidimensional e não há geração de energia, temos:

Assim nossa equação fica:

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ⋅ ∂ T ∂ t

Como quanto t = 0 nosso fluido aquecedor não aqueceu nossa superfície então a temperatura é T i , assim nossa equação fica:

T x , 0 = T i

Agora pra nossas condições de contorno, na superfície contraria ao aquecedor, não tem fluxo de calor, já que está isolada. Na outra superfície o fluxo de calor vai ser máximo, ou seja:

x = 0 ,   ∂ T ∂ x 0 = q 0 ' '

x = L ,   q L ' ' = - k ∂ T ∂ x L = h T L - T ∞

Assim nosso gráfico fica:

No instante t 1 nossa parede está roubando calor do ambiente e do aquecedor, nosso fluido está aquecendo a parede, após isso a parede já tem energia o suficiente para dissipa-la em forma de calor no fluido, assim o calor passa do aquecedor para a parede e pôr fim ao fluido.

Passo 3

(b) Bem nosso problema nos pede uma representação gráfica da distribuição do fluxo de temperatura ao longo da superfície, usar nossos cálculos da letra (a) nossa q ' ' x ,   t

Assim nosso gráfico fica assim.

Esse intervalo negativo do fluxo é o resultado da nossa parede estar à uma temperatura menor que o fluido por isso o fluxo é negativo pois resulta do sentido do mesmo em sentido a parede.

Passo 4

(c) Vamos lá! Nosso problema pede pra escrevermos o fluxo de calor em função do tempo. Temos que lembrar que no regime permanente nosso fluxo vai ser dado por:

q x ' ' = - k ∂ T ∂ x = h T i - T ∞

Como com o passar do tempo a diferença de temperatura da superfície vai ser igual a temperatura do fluido que tá aquecendo a superfície.

Assim nosso gráfico fica assim.

Passo 5

(d) Estamos terminando! Para escrevermos nossa expressão pra temperatura no regime estacionário na superfície do aquecedor temos que fazer o balanço de fluxo, assim temos:

q s a i ' ' = q g ' '

q c o n d ' ' = q c o n v ' '

q 0 ' ' = - k ∂ T ∂ x 0 = k T 0 ,   ∞ - T L ,   ∞ L

Combinando todas as equações temos:

T 0 ,   ∞ = T ∞ + q 0 ' ' 1 h + L k

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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