Enunciado

Em uma parede plana, de espessura L   =   0,1   m , há aquecimento volumétrico uniforme a uma taxa q ˙ . Uma superfície da parede ( x   =   0 )   é isolada termicamente, enquanto a outra superfície está exposta a um fluido a T ∞   =   20 ° C , com o coeficiente de transferência de calor por convecção caracterizado por h   =   1000   W / ( m 2   ·   K ) . Inicialmente, a distribuição de temperaturas na parede é T ( x ,   0 )   =   a   +   b x 2 , na qual a   =   300 ° C ,   b   =   - 1,0   ×   104   ° C / m 2   e x está em metros. Subitamente, a geração de calor volumétrica é desativada (   q ˙ =   0   p a r a   T   ≥   0 ) , enquanto a transferência de calor convectiva continua ocorrendo em x   =   L . As propriedades da parede são ρ   =   7000   k g / m 3 ,   c p   =   450   J / ( k g   ·   K )   e   k   =   90   W / ( m   ·   K ) .

(a) Determine o valor da taxa volumétrica de geração de energia associada à condição inicial ( t   <   0 ) .

(b) Em coordenadas T   –   x , esboce as distribuições de temperaturas para as seguintes condições: condição inicial t   <   0 , condição de regime estacionário t   →   ∞ , e duas condições intermediárias.

(c) Em coordenadas q x ' ' –   t , esboce a variação com o tempo do fluxo térmico na fronteira exposta ao processo convectivo, q x ' ' ( L ,   T ) . Calcule o valor correspondente do fluxo térmico em t   =   0 ,   q x ' ' ( L ,   0 ) .

(d) Calcule a quantidade de energia removida da parede, por unidade de área ( J / m 2 ) , pelo escoamento do fluido durante o resfriamento da parede de sua condição inicial até o regime estacionário.

Passo 1

Vamos lá! primeiro vamos entender nosso problema, o problema diz que se trata de um sistema unidimensional sem geração de energia, logo a troca de calor só ocorre em uma direção que no caso apresentado é a radial, vamos fazer nosso diagrama pra facilitar nossa vida.

Origem e sentido da geração de calor e da dissipação.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   u n i d i m e n s i o n a l

I I - R e g i m e   p e r m a n e n t e

I I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

I V - g e r a ç ã o   d e   c a l o r   c o n s t a n t e

Passo 2

(a)

Tendo tudo isso em mente vamos a nossa letra (a), o gráfico de T ( x ,   t ) em função do espaço. Para isso vamos escrever nossa lei de Fourier (equação 2.21 ).

Como nossa condução é unidimensional e há geração de energia, temos:

Assim nossa equação fica:

∂ 2 T ∂ x 2 + q ˙ k = 0

Como quanto t = 0 nossa temperatura segue a seguinte função:

T x , 0 = a + b x 2

Assim temos:

∂ ∂ x ∂ ∂ x a + b x 2 + q ˙ k = 0

2 b + q ˙ k = 0 ,   q ˙ = - 2 b k

Passo 3

(b) Seguindo as equações da letra (a) vamos montar nosso gráfico T - x , assim temos.

Passo 4

(c) Seguindo as equações da letra (a) vamos montar nosso gráfico q x ' ' - t , assim temos.

∂ 2 T ∂ x 2 + q ˙ k = 1 a ∂ T ∂ t

T x , t = e t + c 1 α + α q ˙ k

Como T 0 ,   0 = T 0

c 1 = ln ⁡ k T 0 a q ˙ α

Assim nosso gráfico fica:

Calculando, q x ' ' e T ( x ) temos:

T L ,   0 = a + b L 2 = 300 - 1,0 ⋅ 10 4 ⋅ 0,1 2 = 200 ° C

q x ' ' L , 0 = h T L ,   0 - T ∞ = 1000   200 - 20 = 1,8 ⋅ 10 5 W m 2

Passo 5

(d) Para encontramos a energia total do processo temos que fazer a integral do processo, vamos fazer o balando de energia, assim temos:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g = E ˙ a c u

Como não tem isolamento E ˙ a c u = 0 e E ˙ e n t r a = 0 .

E ˙ s a i = E ˙ g

E ˙ s a i = ρ c p ∫ 0 L T L ,   0 - T ∞ d x

E ˙ s a i = ρ c p ∫ 0 L a + b x 2 - T ∞ d x

E ˙ s a i = ρ c p a x + b x 3 3 - T ∞ x

Substituindo os valores encontramos:

E ˙ s a i = 7000   k g m ⋅ 450 J k g ⋅ K     300 ⋅ 0.1 - 1.0 ⋅ 10 4 0.1 3 3 - 20 ⋅ 0.1 K ⋅ m

E ˙ s a i = 7,77 ⋅ 10 7 J m 2

E é isso!

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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