Enunciado

Parte do suprimento de água para o Setor Sul do Parque Nacional do Grand Canyon é oriunda do Rio Colorado [54]. Uma vazão de 136   m 3 / h , tomada do rio a uma elevação de 1140   m , é bombeada para um tanque de armazenagem acima do Setor Sul, na elevação de 2140   m . Parte da tubulação está acima do solo e parte em uma galeria perfurada direccionalmente em ângulos de até 70 ° a partir da vertical; o comprimento total da linha é de 4020   m . Sob condições de operação em regime permanente, a perda de carga por atrito é de 88   m de água em adição à altura estática. Estime o diâmetro do tubo de aço comercial do sistema. Calcule a potência de bombeamento requerida, se a eficiência da bomba for 61 % .

Passo 1

Considerações:

  1. Escoamento Estacionário;
  2. Fluído Incompressível;
  3. V 1 = V 2 = 0 (reservatório muito grande);
  4. p 1 = p 2 = p a t m .

Passo 2

Escreva a Equação de Bernoulli:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h t

Fazendo as considerações do Passo 1:

z 1 = z 2 + h t

H a = ∆ z + h t

Sendo:

h t = f L D ⋅ V 2 2 g + ∑ K V 2 2 g

Como não há perdas menores, temos que:

H a = ∆ z + f L D ⋅ V 2 2 g

Passo 3

Como não possuímos o tamanho do diâmetro, devemos fazer um chute inicial e uma sequência de iterações até um valor convergente.

Chute Inicial D = 0,254   m

Calculando V :

V = Q A = 4 Q π D

Sendo:

Q = 136   m 3 / h = 0,038   m 3 / s ;

D = 0 , 25 4   m .

Temos:

V = 4 ⋅ 0,038   π ⋅ 0,254 2 = 0,75   m / s

Passo 4

Do Número de Reynolds:

R e = ρ V D μ

Sendo:

μ = 1,01 x 10 - 3   N ⋅ s / m 2 (Tabela A.7);

ρ = 1000   k g / m 3 .

Temos:

R e = 1000 ⋅ 0,75 ⋅ 0 , 25 4 1,01 x 10 - 3 = 1,88 x 10 5

Obtendo e D :

Com e tabelado para Aço Comercial igual a 0 , 045   m m .

e D = 4,5 x 10 - 5 0 , 25 4 = 0,000 18

Com o Diagrama de Moody, obtemos os seguintes valores para f :

f = 0,01 7

Passo 5

Sob condições de operação em regime permanente, a perda de carga por atrito é de 88   m de água em adição à altura estática.

Então, o diâmetro iterado deve nos proporcionar h f = 88   m .

Voltando na equação de h f :

h f = f L D ⋅ V 2 2 g

Sendo:

L = 402 0   m ;

g = 9,8   m / s 2 ;

Temos:

h f = 0,01 7 ⋅ 4020 0 , 25 4 ⋅ 0,75 2 2 ⋅ 9,8 = 7,7   m

Repetiremos os Passos 3, 4 e 5 para diferentes valores de diâmetros:

Assim, temos que o diâmetro é igual a 0,156   m .

Passo 6

Voltando na Equação do Passo 2:

H a = ∆ z + f L D ⋅ V 2 2 g

Sendo:

∆ z = 2140 - 1140 = 1000   m .

Temos:

H a = 1000 + 88 = 1088   m

Passo 7

Calculando a potência da bomba.

Temos uma eficiência de n p = 0 , 61 .

Então:

W m = W h n p = ρ g Q H a n p = 1000 ⋅ 9,8 ⋅ 0,038 ⋅ 1088 0 , 61 = 664   k W  

Resposta

D = 0,156   m

W m = 664   k W

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