Enunciado

31 – A partir do balanço de energia do elemento de volume em forma de disco, derive a equação de condução de calor unidimensional transiente para T ( z , t ) no cilindro de diâmetro D com a superfície lateral isolada, para o caso de condutividade térmica constante com geração de calor.

Passo 1

As premissas dadas são

1) Bidimensional

2) Transitório

3) Condutividade térmica constante

4) Com geração de calor

Passo 2

Considere um elemento de disco fino de espessura  z  e diâmetro  D  em um cilindro longo

A densidade do cilindro é ρ ,

O calor específico é  c p , e A área do cilindro A = π 4 d 2 normal à direção da transferência de calor é constante.

Um balanço de energia nesse elemento fino de espessura z durante um pequeno intervalo de tempo  t  pode ser expresso como

Q ˙ z - Q ˙ z + ∆ z + G ˙ e l e m e n t o = ∆ E e l e m e n t o ∆ t

Onde:

∆ E e l e m e n t o = E t + ∆ t - E t

= m c p ( T t + ∆ t - T t )

Sabemos que:

m = ρ V

m = ρ ( A ∆ z )

Logo,

= ρ c p A ∆ z ( T t + ∆ t - T t )

Passo 3

Substituindo na fórmula temos,

Q ˙ z - Q ˙ z + ∆ z + G ˙ e l e m e n t o = ρ c p A ∆ z T t + ∆ t - T t ∆ t

Dividindo por A ∆ z , temos:

- 1 A Q ˙ z + ∆ z - Q ˙ z ∆ z + g ˙     = ρ c p T t + ∆ t - T t ∆ t

Ao tomar o limite como ∆ z → 0   e   ∆ t → 0

1 A ∂ ∂ z k A ∂ T ∂ z + g ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Passo 4

A partir da definição da derivada e da lei de Fourier de condução de calor, temos:

lim ∆ z → 0 ⁡ Q ˙ z + ∆ z - Q ˙ z ∆ z = ∂ Q ˙ z ∂ z =

= ∂ ∂ z - k A ∂ T ∂ z

Observando que a área A e a condutividade térmica k são constantes, a equação de condução de calor transiente unidimensional na direção axial em um cilindro longo torna-se

∂ 2 T ∂ z 2 + g ˙ k = 1 ∝ ∂ T ∂ r

a difusividade térmica do material é   ∝ = k ρ c p .

Portanto, a equação unidimensional de condução de calor transiente é

∂ 2 T ∂ z 2 + g ˙ k = 1 ∝ ∂ T ∂ r

Resposta

∂ 2 T ∂ z 2 + g ˙ k = 1 ∝ ∂ T ∂ r

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