Enunciado

Um pequeno forno é constituído por uma caixa cúbica, de lado L = 0,1 m, como mostrado. O piso da caixa é constituído por um aquecedor que fornece P = 400 W. As paredes restantes perdem calor para a vizinhança fora do forno, fato que mantém suas temperaturas a T3 = 400 K. Um objeto esférico, com diâmetro D = 30 mm, encontra-se posicionado no centro do forno. Algum tempo após a esfera ser posicionada no interior do forno, sua temperatura é de T1 = 420 K. Todas as superfícies têm emissividade igual a 0,4.

  1. Determine os seguintes fatores de forma: F12, F13, F21, F31, F23, F32, F33.
  2. Determine a temperatura do piso e a taxa de transferência de calor líquida por radiação deixando a esfera. A esfera está em condições de regime estacionário?

Passo 1

Shoow de bola galerinhaaa !!

Vamos continuar?

Aqui nós queremos começar achando os fatores de forma, não é?

Nós já achamos dois facilmente, devido a simetria para a esfera (1) o seu fator de forma com relação às seis paredes será:

F 12 = 1 6

F 13 = 5 6

Usando a reciprocidade podemos achar três fatores, vamos começar por F 21 e F 3 1 :

F 21 = A 1 F 12 A 2

F 3 1 = A 1 F 1 3 A 3

Lembrando que:

A 1 = π D 2

A 2 = L 2

A 3 = 5 L 2

Então:

F 21 = π (   0,03   m ) 2 6 0,1   m 2 = 0,0471

F 31 = 5 π ( 0,03   m ) 2 6 × 5 0,1   m 2 = 0,0471

Fazendo o somatório para a superfície 2:

F 21 + F 2 3 = 1

F 23 = 0,953

E agora nós podemos chegar ao terceiro fator forma calculado pela reciprocidade:

F 32 = A 2 F 23 A 3

Substituindo:

F 32 = 0,1   m 2 0,953 5 0,1   m 2 = 0,191

Com mais um somatório para a superfície 3:

F 3 3 = 1 - F 3 1 - F 32 = 0,762

Ihuuuul !!

Vamos só por em uma tabelinha?

E chegamos ao fim da letra (a) !!

Passo 2

Na letra (b) nós queremos achar a temperatura do piso e a taxa de transferência de calor líquida por radiação deixando a esfera, não é? Como o problema nos disse nós temos duas superfícies, certo?

Para a taxa de radiação liquida transferida em uma superfície podemos usar a seguinte relação:

q i = E b i - J i 1 - ε i ε i A i = ∑ j = 1 3 J i - J j 1 A i F i j

Onde E b i é a potência emissiva, J i a radiosidade, A i a área e ε i a emissividade da superfície i.

Vamos dar uma olhada nas equações abertas?

q 1 = E b 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1 = J 1 - J 2 1 A 1 F 12 + J 1 - J 3 1 A 1 F 13

q 2 = E b 2 - J 2 1 - ε 2 ε 2 A 2 = J 2 - J 1 1 A 2 F 21 + J 2 - J 3 1 A 2 F 23

q 3 = E b 3 - J 3 1 - ε 3 ε 3 A 3 = J 3 - J 1 1 A 3 F 3 1 + J 3 - J 2 1 A 3 F 3 2

Nós já sabemos que:

ε 1 = ε 3 = 0 , 4

Agora o que nós precisamos é achar as radiosidades!

Mas para isso precisamos achar as potências emissivas:

E b 1 = σ T 1 4

E b 3 = σ T 3 4

Lembrando que:

σ = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4

T 1 = 42 0   K

T 3 = 4 0 0   K

Então:

E b 1 = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 420   K 4 = 1764   W m 2

E b 3 = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 400   K 4 = 1452   W m 2

Então nós precisamos dos fatores de forma para conseguirmos calcular as radiosidades !!

Passo 3

Agora nós vamos substituir tudo nas equações do Passo 2:

  1764 - J 1 1 - 0,4 0,4 × π 0,03 2 = J 1 - J 2 1 1 6 × π 0,03 2 + J 1 - J 3 1 5 6 × π 0,03 2

400   W = J 2 - J 1 1 0,0471 × 0,1   m 2 + J 2 - J 3 1 0,953 × 0,1   m 2

1452 - J 3 1 - 0,4 0,4 × 5 0 , 1 2 = J 3 - J 1 1 0,0471 × 5 0,1   m 2 + J 3 - J 2 1 0,191 × 5 0,1   m 2

Resolvendo as duas equações simultaneamente:

J 1 = 1,24 × 10 4 W m 2

J 2 = 5,28 × 10 4 W m 2

J 3 = 1,29 × 10 4 W m 2

Para a taxa de transferência de calor nós precisamos somente aplicar a primeira parte da igualdade para a superfície 1:

q 1 = 1764   - 1,24 × 10 4 1 - 0,4 0,4 × π 0,03 2

q 1 = - 20   W

Então nós temos uma transferência liquida para a superfície 1, certo? Se é assim ela não está em estado estacionário !!

Passo 4

Agora nós só precisamos da temperatura da superfície 2, mas como ela está relacionada à potência emissiva vamos começar achando ela, ok?

Para isso vamos usar a relação do Passo 2:

q 2 = E b 2 - J 2 1 - ε 2 ε 2 A 2

E b 2 = J 2 + q 2 1 - ε 2 ε 2 A 2

Substituindo:

E b 2 = 5,28 × 10 4 + ( 400 ) 1 - 0,4 0,4 0,1 2

E b 2 = 1,128 × 10 5 W m 2

E suando a relação entre a temperatura e a potência emissiva:

E b 2 = σ T 2 4

E substituindo:

1,128 × 10 5 W m 2 = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 T 2 4

T 2 = 1188   K

Shooow galerinha !! Finalizamos mais umaa !!

Resposta

  1. T 2 = 1188   K     |       q 1 = - 20   W     |     N ã o   e s t á   n o   e s t a d o   e s t a c i o n á r i o  
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um cone circular e um cilindro circular com o mesmo diâmetro e comprimento ( A 2 ) estão posicionados coaxialmente, a uma distância L o , de um disco circular ( A 1 ) , como mostrado no esquema. As su
O método dos “filamentos cruzados” de Hottel [7] fornece um meio simples para calcular fatores de forma entre superfícies que têm extensão infinita em uma direção. Para duas destas superfícies (a) com
Considere as seguintes fendas, cada uma com largura W, que foram usinadas em um bloco de material sólido.Para cada caso, obtenha uma expressão para o fator de forma da fenda com relação à vizinhança f
Deduza expressões para o fator de forma F12 associado aos arranjos a seguir. Expresse os seus resultados em termos de A1, A2 e qualquer outra área de superfície hipotética apropriada, assim como do fa
Determine F12 e F21 para as seguintes configurações usando o teorema da reciprocidade e outras relações básicas do fator de forma. Não utilize tabelas ou gráficos.Duto longo:Pequena esfera com área A1