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O perfil de velocidade de escoamento turbulento em um tubo circular é aproximado por u r = u m á x 1 - r R 1 / n , onde n = 7 . Determine o fator de correção da energia cinética para esse escoamento.

Passo 1

Temos que a formula do fator de correção é:

α = 1 A ∙ ∫ A   u r V m é d 3 d A

Como possuímos um tubo como nosso duto, tendo que a área de um tubo é:

A = π   R 2

Retirando a velocidade média da integração, por ser uma constante para integral.

α = 1 A V m é d 3 ∙ ∫ A   u r 3 d A

Passo 2

Antes de prosseguirmos com fator de correção, temos que determinar a velocidade média, que tem a seguinte formula:

V m é d = 1 A ∫ A   u r   d A

Como A = π   R 2 , derivando A dos dois lados:

d A = π   d r 2

d A = 2 π r   d r

Substituindo d A e u r na velocidade média:

V m é d = 1 π R 2 ∫ r = 0 R u m á x 1 - r R 1 / n ∙   2 π r   d r

V m é d = 2 u m á x R 2 ∫ r = 0 R 1 - r R 1 / n ∙ r   d r

Passo 3

Retomando a equação de α :

α = 1 A V m é d 3 ∙ ∫ A   u r 3 d A

executando a mesma substituição feita na velocidade média:

α = 1 π R 2 V m é d 3 ∙ ∫ r = 0 R u m á x 1 - r R 3 / n ∙   2 π r   d r

Simplificando o possível sem fazer a integral:

α = 2 u m á x 3 R 2 V m é d 3 ∙ ∫ r = 0 R 1 - r R 3 / n ∙   r   d r

Passo 4

Agora nos encontramos com duas integrais bem chatinhas de se fazer, mas ainda bem que existe ela tabelada.

Retirando da tabela de integração:

∫ a + b x n   x   d x = a + b x n + 2 b 2 ∙ n + 2 - a a + b x n + 1 b 2 n + 1

Aplicando a formula retirada da tabela para integral de α :

Temos:

∫ r = 0 R 1 - r R 3 n ∙   r   d r

= 1 - r R 3 n + 2 1 R 2 3 n + 2 - 1 - r R 3 n + 1 1 R 2 3 n + 1 r = 0 R = n 2 R 2 2 n 2 + 3 n + 6 n + 9

Opa da pra simplifica mais um pouquinho:

= n 2 R 2 n + 3 2 n + 3

Executando a mesma integração para integral da velocidade média:

∫ r = 0 R 1 - r R 1 n ∙   r   d r

= 1 - r R 1 n + 2 1 R 2 3 n + 2 - 1 - r R 1 n + 1 1 R 2 3 n + 1 r = 0 R = n 2 R 2 2 n 2 + n + 2 n + 1

Opa da pra simplifica mais um pouquinho:

= n 2 R 2 n + 1 2 n + 1

Passo 5

Retomando o calculo da velocidade média:

V m é d = 2 u m á x R 2 ∫ r = 0 R 1 - r R 1 / n ∙ r   d r

Substituindo a integral que resolvendo no passo 4:

V m é d = 2 u m á x R 2 n 2 R 2 n + 1 2 n + 1

Simplificando R 2 :

V m é d = 2 n 2 u m á x n + 1 2 n + 1

Passo 6

Substituindo a velocidade média na equação de α :

α = 2 u m á x 3 R 2 V m é d 3 ∙ ∫ r = 0 R 1 - r R 3 / n ∙   r   d r

α = 2 u m á x 3 R 2 2 n 2 u m á x n + 1 2 n + 1 3 ∙ ∫ r = 0 R 1 - r R 3 / n ∙   r   d r

Substituindo a integral calculada no passo 4:

α = 2 u m á x 3 R 2 2 n 2 u m á x n + 1 2 n + 1 3 ∙ n 2 R 2 n + 3 2 n + 3

Simplificando:

α = 2 u m á x 3 R 2 ∙ n 2 R 2 n + 3 2 n + 3 2 n 2 u m á x n + 1 2 n + 1 - 3

“Cortando” R 2 e u m á x :

α = n + 1 3 2 n + 1 3 4 n 4 n + 3 2 n + 3

Como n = 7   , temos

α = 7 + 1 3 2 ∙ 7 + 1 3 4 ∙ 7 4 ∙ 7 + 3 2 ∙ 7 + 3 = 1,06

Resposta

α = 1,06

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