Enunciado

Quando uma pessoa patina no gelo, a superfície do gelo na realidade derrete sob as lâminas, de modo que a pessoa desliza sobre uma fina camada de água entre a lâmina e o gelo.

  1. Encontre uma expressão para a força de atrito total sob a lâmina em função da velocidade V da patinadora, do comprimento L da lâmina, da espessura da camada de água (entre a lâmina e o gelo) h, da viscosidade da água μ e da largura W da lâmina.
  2. Suponha que uma patinadora de massa total m esteja patinando a uma velocidade constante V 0 quando subitamente fica em posição reta com os patins apontados diretamente para a frente, permitindo que ela deslize até parar. Desprezando-se o atrito devido à resistência do ar, qual é a distância que a patinadora ainda vai percorrer até a parada total? (Lembre-se de que ela está deslizando sobre duas lâminas de patins). Dê sua resposta para a distância total percorrida, x, em função de V 0 , m, L, h, μ e W.
  3. Encontre x para o caso em que V 0 = 4,0   m / s , m = 100 k g ,   L = 30 c m ,   W = 5,0 m m   e   h = 0,10   m m . Você acredita que nossa hipótese de resistência do ar desprezível seja uma boa hipótese?

Passo 1

Simbora pra mais uma!

Em (a), queremos uma expressão para a força de atrito total em função da velocidade da patinadora, do comprimento da lâmina, da espessura da camada de água, da viscosidade da água e da largura W, ou seja:

F a t = f u n ç ã o ( V , L , h , μ , W )

Vamos combinas as unidade no SI para encontrar uma expressão que nos forneça um resultado na unidade de força, assim, temos que μ = N ⋅ s m 2 ,   V = m s ,   L = m , W = m , h = m ) , logo:

F a t = μ ⋅ V ⋅ L ⋅ W h = N ⋅ s m 2 ⋅ m / s ⋅ m ⋅ m m = [ N ]

Passo 2

Em (b), queremos saber a distância percorrida, x, até a patinadora parar. Temos ainda que:

x = f u n ç ã o ( V , L , h , μ , W , m )

Vamos utilizar a segunda lei de Newton para isso, assim:

F = m a

Como nossa força de atrito é contrária ao movimento, temos:

- 2 ⋅ μ ⋅ V ⋅ L ⋅ W h = m d V d t

Vamos separar e integrar, assim:

∫ d V V = - ∫ 2 μ L W m h d t

ln ⁡ V + C = - 2 ⋅ μ ⋅ V ⋅ L ⋅ W h t + C

Adotando C = V 0 e rearranjando a equação:

V = V 0 e - 2 ⋅ μ ⋅ V ⋅ L ⋅ W h t

Integrando novamente para encontrar a função em X, teremos:

x = ∫ V   d t = V 0 m h 2 μ L W

Passo 3

Para (c), queremos aplicar V 0 = 4,0   m / s , m = 100 k g ,   L = 30 c m ,   W = 5,0 m m   e   h = 0,10   m m e μ á g u a = 1,0020 × 10 - 3 k g / m ⋅ s na expressão encontrada em (b), assim:

x = 4,0 m s ⋅ 100   k g ⋅ 0,0001 m 2 ⋅ 1,0020 × 10 - 3 k g m ⋅ s ⋅ 0,30 m ⋅ 0,005 m = 13306,7   m

Assumir que a resistência do ar é desprezível acaba tornando o valor de x extremamente longo, a patinadora estaria percorrendo mais de 13 km, por isso, a hipótese não foi muito boa.

Resposta

  1. F a t = μ ⋅ V ⋅ L ⋅ W h
  2. x = V 0 m h 2 μ L W
  3. 13306,7   m , hipótese não foi boa.
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