Enunciado

Pinos (aletas) devem ser especificados para o uso em uma aplicação industrial de resfriamento. As aletas serão submetidas a um gás em escoamento cruzado com V = 10 m/s. Os pinos cilíndricos têm um diâmetro de D = 15 mm e a área da seção transversal é a mesma para cada uma das configurações mostradas no esboço.

Para pinos de igual comprimento e, consequentemente, de igual massa, qual pino (configuração) terá a maior taxa de transferência de calor? Suponha que as propriedades do gás são iguais as da água a T = 350 K. Sugestão: Suponha que os pinos possam ser tratados como infinitamente longos e use a correlação de Hilpert para o pino de seção transversal circular.

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer nesse exercício é pegar a propriedade do gás na temperatura de 350 K, então, como o enunciado nos disse que suas propriedades são iguais as da água a 350 K, no entanto, fazendo isso, não chegamos em valores plausíveis mais pra frente, o correto é utilizar a aproximação para o ar a essa temperatura, e nesse caso teremos:

ν = 20,92.10 - 6   m 2 / s

k = 0,03   W / m . K

P r = 0,7

Beleza! O enunciado nos disse que podemos considerar uma aleta com comprimento infinito, dessa forma, a taxa de transferência de calor será dada por:

q = h - P k A c θ b

Agora, sabemos que o coeficiente convectivo se relaciona com o número de Nusselt pela seguinte equação:

h - = k N u - D D

E para esse exercício iremos utilizar a correlação de Hilpert, que é dada por:

N u - D = C R e D m P r 1 3

Então, vamos substituir a relação para h - na equação do calor e depois substiutir a relação para Nusselt, chegando em:

q = h - P k A c θ b = k a N u - D D P k A c θ b = k a C R e D m P r 1 3 D P k A c θ b

Passo 2

Então, podemos ver que os termos que vão variar de acordo com a configuração serão D ,   C ,   R e D , m e P , os outros serão constantes com relação as geometrias, então, podemos analisar somente o termo:

C R e D m P D

Quanto maior for esse termo, maior será o valor do calor a ser transferido. Então precisamos analisar esses valores para todas as geometrias. Precisamos dos valores das constantes m e C . Para a geometria circular, os valores são encontrados através da tabela 7.2 apresentada a seguir:

E, para as demais geometrias, os valores são dados pela tabela 7.3:

Então precisaremos calcular o número de Reynolds para os escoamentos para encontrar o valor das constantes.

Passo 3

Começando pela configuração A, temos:

R e D = V D ν = 10 0,015 20,92.1 0 - 6 → R e D = 7170

Para esse número de Reynolds, teremos:

C = 0,193 ; m = 0,618

Agora, precisamos do perímetro P , que será dado por:

P = π D = π 0,015 → P = 0,0471   m

Então a relação que estamos analisando será:

C R e D m P D A = 0,193 7170 0,618 0,0471 0,015 → C R e D m P D A = 146

Passo 4

Beleza, agora precisamos repetir o processo para a configuração B, calculando o número de Reynolds com o D equivalente, que será o lado do quadrado. Nesse caso, como o enunciado nos disse que a área transversal das configurações seria a mesma, então, sabendo que a área do quadrado é dada pela multiplicação do comprimento do seu lado, teremos um D equivalente de:

D 2 = π D 2 4 = π 0,015 2 4 → D = 0,0133   m

Então, calculando Reynolds com esse valor, temos:

R e D = V D ν = 10 0,0133 20,92.10 - 6 → R e D = 6354,4

Para esse número de Reynolds, teremos:

C = 0,158 ; m = 0,66

Agora, precisamos do perímetro P , que será dado por:

P = 4 D = 4 0,0133 → P = 0,0532   m

Então, substituindo os valores conhecidos na relação de interesse, temos:

C R e D m P D B = 0,158 6354,4 0,66 0,0532 0,0133 → C R e D m P D B = 204,5

Passo 5

Agora iremos para a configuração C, de acordo com a tabela do passo 2, o diâmetro equivalente D é a altura do diamante, ou seja, a diagonal do quadrado, que é dada por:

D = L 2

O lado o quadrado já foi encontrado no passo 4, então teremos:

D = 0,0133 2 → D = 0,0188

Então, calculando Reynolds com esse valor, temos:

R e D = V D ν = 10 0,0188 20,92.10 - 6 → R e D = 8990,9

Para esse número de Reynolds, teremos:

C = 0,304 ; m = 0,59

Agora, precisamos do perímetro P , que será dado por:

P = 4 L = 4 0,0133 → P = 0,0532   m

Então, substituindo os valores conhecidos na relação de interesse, temos:

C R e D m P D C = 0,304 8990,9 0,59 0,0532 0,0188 → C R e D m P D C = 185,1

Então, comparando os três valores, podemos ver que a configuração B é aquela que vai fornecer a maior taxa de transferência de calor.

Resposta

B

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