Enunciado

Uma piscina circular instalada sobre o solo é aquecida de tal forma que pode ser usada no tempo frio. Afastado da piscina, o solo tem uma temperatura de 10°C. O aquecedor é acionado e rapidamente leva a temperatura da água da piscina até uns confortáveis 20°C; suponha que essa seja a temperatura da região circular do solo abaixo da piscina. A piscina tem um diâmetro de 5 m.

(a) Calcule a taxa de transferência de calor da piscina para o solo dez horas após o acionamento do aquecedor. Sugestão: Com base em considerações de simetria, a marca da piscina no solo pode ser vista como um disco aquecido em uma vizinhança infinita.

(b) Calcule o tempo que levaria para a taxa de transferência de calor estar a 10% do seu valor no regime estacionário.

Passo 1

Iai gente! Prontos pra detonar mais uma questão comigo? Bora lá!

a) Uma vez que não existe perda de calor no chão, a superfície pode ser entendida como um plano simétrico, certo? E a pegada da piscina pode ser vista como um disco de temperatura constante em arredores infinitos. Sabendo disso, usando os Casos Exteriores, da Tabela 5.2a, Formas Variadas, e o caso 13 da Tabela 4.1, temos que as seguintes expressões são equivalentes.

q * = 1 π F o + q s s *

q s s * = 2 2 π

Usaremos as seguintes expressões para solucionarmos o que foi pedido:

F o = α t / L c 2

L c = A s 4 π 1 / 2

A s = π D 2 2

Portanto, vamos ter que o comprimento será:

L c = 5 8 = 1,77 m

Já o número de Fourier vai ser igual a:

F o = 1,38 * 10 - 7 * 10 * 3600 1,77 2 = 1,59 * 10 - 3

Portanto, vamos ter a taxa de calor igual a:

q * = 15,1 = q s ' ' L c k T s - T i

Portanto, temos que:

q s = q s s ' A s

Passo 2

Desenvolvendo matematicamente um pouco mais, temos que:

q s = k A s ( T s - T i ) L c q *

Por fim, substituindo os valores que possuímos temos que:

q s = 0,52 * π * 5 2 2 * 20 - 10 1,77 * 15,1

Portanto temos que q s = 1739   W .

Uma vez que a taxa de transferência de calor se expande a infinitos arredores, a taxa de calor da marca ao chão é de:

q c h ã o = q s 2 = 870   W

Passo 3

b) Do item acima, vimos que q * é maior que q s s * . Nosso objetivo é encontrar o tempo no qual q * é 10% maior que q s s * . Logo teremos que:

q * = 1,1 ( q s s * )

Portanto, podemos escrever que:

0,1 q s s * = 1 π F o

E também que:

0,1 q s s * = 0,1 2 2 π

Para encontrarmos o valor de Fo, usaremos que:

F o = π 0,1 2 2 2 1 / π   = 39,3

Portanto, temos que o nosso tempo será:

t = F o L c 2 / α

Ou seja:

t = 39,3 1,77 2 / 1,38 * 10 - 7

Ou seja, temos o tempo de 8,9 * 10 8   segundos. Ou t = 28,2   a n o s .

Espero que tenham curtido! Nos vemos na próxima questão, galera!

Resposta

  1. q c h ã o = 870   W
  2. t = 28,2   a n o s

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