Enunciado

Uma placa de grande espessura, com difusividade térmica de 5,6   ×   10 - 6   m 2 / s   e condutividade térmica de 20   W / ( m   ·   K ) , está inicialmente a uma temperatura uniforme de 325 ° C . De repente, a sua superfície é exposta a uma substância refrigerante a 15 ° C , que mantém um coeficiente de transferência de calor por convecção igual a 100   W / ( m 2   ·   K ) . Usando o método de diferenças finitas com um incremento espacial de Δ x   =   15   m m   e um incremento no tempo de 18   s , determine as temperaturas na superfície e a uma profundidade de 45   m m , passados 3   m i n do início do processo.

Passo 1

Vamos lá! Nosso problema pede a temperatura na superfície e na profundidade de 45   m m , mas antes vamos fazer um esboço para facilitar nossa vida.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   t r a n s i e n t e   u n i d i m e n s i o n a l

I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

I I I - A   p l a c a   s e   c o m p o r t a   c o m o   u m   m e i o   s e m i - i n f i n i t o

Passo 2

Vamos lá, com nossos dados em mãos vamos calcular a distribuição de temperatura pelo método das diferenças finitas, como foi sugerido pelo problema, para o ponto 0 podemos usar a equação 5.90 para as condições unidimensionais ou a 5.85 . Então temos:

T 0 p + 1 = 2 F 0 T 1 p + B i ⋅ T ∞ + 1 - 2 F 0 - 2 B i ⋅ F 0 T 0 p

Agora calculando os números B i e F 0 , vamos ter:

B i = h ⋅ Δ x k = 100 W m 2 ⋅ K ⋅ 15   m ⋅ 10 - 3 20 W m ⋅ K = 0,075

F 0 = α Δ t Δ x 2 = 5,6 ⋅ 10 - 6 m 2 s ⋅ 18   s 15   m ⋅ 10 - 3 2 = 0,448

Substituindo os dados na equação para T ∞ = 15 ° C :

T 0 p + 1 = 0,0359 ⋅ T 0 p + 0,897 ⋅ T 1 p + 1,01

Passo 3

Agora Temos que lembrar que precisamos atender o critério de estabilidade:

1 - 2 F 0 - 2 B i F 0 = 1 - 2 F 0 1 + B i ≥ 0

Organizando

F 0 1 + B i ≤ 1 2

Substituindo:

F 0 1 + B i = 0,448 ⋅ 1 + 0,075 = 0,482

Logo o nosso critério de estabilidade é atendido, assim usando a equação 5.78 para os nós internos, a equação vai ficar assim.

T m p + 1 = F 0 T m + 1 p + T m - 1 p + 1 - 2 F 0 T m p

Substituindo temos:

T m p + 1 = 0,448 ⋅ T m + 1 p + T m - 1 p + 0,104 ⋅ T m p

Passo 4

Agora vamos fazer uma tabela com intervalos de 18 segundos, para um tempo total de 3   m i n , mas antes vamos calcular a quantidade de pontos, sendo assim:

p = t Δ t = 3   m i n   ⋅ 60   s m i n 18   s = 10

Por fim nossa tabela fica assim:

Como o problema pede a temperatura na superfície de interface e na profundidade de 45   m m , temos:

T s u p = T 0 180 s = 274,8   K

T 45 m m = T 3 180 s = 312,4   K

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

T s u p = 274,8   K

T 45 m m = 312,4   K

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