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Uma barra com 10   m m de diâmetro e 250   m m de comprimento tem uma de suas extremidades mantida a 100 ° C . Na superfície da barra há transferência de calor por convecção natural com o ar ambiente a 25 ° C e um coeficiente convectivo que depende da diferença entre as temperaturas da superfície e do ar ambiente. Especificamente, o coeficiente é estabelecido por uma correlação que tem a forma h c n =   2,89 [ 0,6   +   0,624   T   –   T ∞ 1 6 ]   2 , na qual as unidades são h c n ( W / ( m 2 ·   K ) ) e T   ( K ) . A superfície da barra tem uma emissividade ε   =   0,2 e troca calor por radiação com a vizinhança a T v i z =   25 ° C . Na extremidade da aleta também há convecção natural e troca de calor por radiação.

Supondo condução unidimensional e usando um método de diferenças finitas, representando a aleta por cinco nós, estime a distribuição de temperaturas na aleta. Determine também a taxa de transferência de calor na aleta e as contribuições relativas da convecção natural e da radiação. Sugestão: Para cada nó que necessite de um balanço de energia, use a forma linearizada da equação para a taxa radiante, Equação 1.8, com o coeficiente de transferência de calor por radiação h r , Equação 1.9, calculado para cada nó. Da mesma forma, na equação para a taxa de transferência de calor por convecção natural associada a cada nó, o coeficiente convectivo h c n deve ser calculado em cada nó.

Passo 1

Nessa questão nós temos uma aleta de pino de 10   m m de diâmetro e comprimento 250   m m com temperatura base de 100 ° C experimentando troca de radiação com o ambiente e convecção livre com o ar ambiente.

Com isso, queremos encontrar a distribuição de temperatura pelo método das diferenças finitas com cinco nós, a taxa de calor da aleta e contribuições relativas por convecção e radiação. Então vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir:

(1) Condições em estado estacionário;

(2) Condução unidimensional na aleta;

(3) Propriedades constantes;

(4) A aleta é um objeto pequeno em um recinto grande;

(5) A ponta da aleta experimenta convecção e radiação;

(6) h c n =   2,89 [ 0,6   +   0,624   T   –   T ∞ 1 6 ]   2 .

Para aplicar o método da diferença finita, temos que Δ x = L / 5 . E podemos fazer os balanços de energia nos nós para obter as equações de diferença finita para as temperaturas nodais.

Nó interior,   n   =   1 ,   2 ,   3   o u   4

E ˙ e n t - E ˙ s a i = 0

q a + q b + q c + q d = 0

h r n P Δ x T s u r - T n + k A c T n + 1 - T n Δ x + h c n P Δ x T ∞ - T n + k A c T n - 1 - T n Δ x = 0  

Onde o coeficiente de convecção livre é:

h c n =   2,89 [ 0,6   +   0,624   T   –   T ∞ 1 6 ]   2

E o coeficiente de radiação linearizado é,

h r n = ε σ T n + T s u r T n 2 + T s u r 2

Com,

P = π D   e A c = π D 2 / 4

Passo 3

Para o nó da ponta, n   =   5 :

E ˙ e n t - E ˙ s a i = 0

q a + q b + q c + q d + q e = 0

h r , 5 P Δ x 2 T s u r - T 5 + h r , 5 A c T s u r - T 5 + h c n , 5 A c T ∞ - T 5 + h c n , 5 P Δ x 2 T ∞ - T 5 + k A c T 4 - T 5 Δ x = 0  

Conhecendo as temperaturas nodais, as taxas de calor são avaliadas como:

Taxa de aquecimento da aleta: um balanço de energia em torno do nó b.

E ˙ e n t - E ˙ s a i = 0

q a + q b + q c + q a l e t a = 0

h r , b P Δ x 2 T s u r - T b + h c n , b P Δ x 2 T ∞ - T b + k A c T 1 - T b Δ x + q a l e t a = 0  

Onde   h r , b e h c n , b são avaliados em T b .

Passo 4

Passo 4 Taxa de calor por convecção: Para determinar a parte da taxa de calor por convecção a partir da superfície da aleta, precisamos somar as contribuições de cada nó. Utilizando os termos da taxa de calor de convecção dos balanços de energia anteriores, respectivamente para o nó b , os nós 1 ,   2 ,   3 ,   4 e o nó 5 ,

q c v = - q b b - ∑ q c 1 - 4 - q c + q d 5  

Taxa de calor de radiação: da mesma maneira,

q r a d = - q a b - ∑ q c 1 - 4 - q a + q d 5  

As equações acima foram inseridas no espaço de trabalho IHT e o conjunto de equações resolvido para as temperaturas nodais e as taxas de calor. Os principais resultados, incluindo a distribuição de temperatura e as taxas de calor, é mostrado abaixo.

Passo 5

Passo 6

Resposta

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