Enunciado

Uma placa de pirocerâmica ( ρ = 2.600   k g / m 3 ,   c p = 808   J / k g ⋅ K ,   k = 3,98   W / m ⋅ K   e   α = 1,89 × 10 - 6   m 2 / s ) de 6   m m de espessura está sendo resfriada em uma sala com temperatura do ar de 25 ℃ e coeficiente de transferência de calor por convecção de 13,3   W / m 2 ⋅ K . A placa de pirocerâmica aquecida com temperatura inicial de 500 ℃ deve ser resfriada em 286   s . Se a massa da placa de pirocerâmica é 10   k g , determine sua transferência de calor durante o processo de resfriamento usando a Tab. 4-2 e b Fig. 4-16.

Passo 1

Dados fornecidos no enunciado:

Densidade da placa de pirocerâmica: ρ = 2.600   k g / m 3

Calor específico da placa de pirocerâmica: c p = 808   J / k g ⋅ K

Condutividade térmica da placa de pirocerâmica: k = 3,98   W / m ⋅ K

Difusividade térmica da placa de pirocerâmica: α = 1,89 × 10 - 6   m 2 / s

Coeficiente de transferência de calor por convecção: h = 13,3   W / m 2 ⋅ K

Espessura da placa de pirocerâmica: e = 6   m m = 0,006   m

Comprimento característico da placa de pirocerâmica: L = 0,003   m

Temperatura inicial da placa de pirocerâmica: T i = 500 ℃

Temperatura do ar ambiente: T ∞ = 25 ℃

Tempo de resfriamento da placa de pirocerâmica: t = 286   s

Massa da placa: m = 10   k g

Passo 2

a) A placa é de 6   m m de espessura. Assim, o comprimento característico é de 3   m m .

Podemos começar calculando o número de Biot usando a seguinte equação:

B i = h L c k

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor,  L c é o comprimento característico e k  é a condutividade térmica do material. Substituindo os termos pelos dados fornecidos, temos:

B i = 13,3   W / m 2 ⋅ K × 0,003   m 3,98   W / m ⋅ K

B i = 0,01

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de Fourier usando a seguinte equação:

τ = α t L 2

Aqui τ  é o número de Fourier, α é a difusividade térmica, t  é o tempo e L é o comprimento da característico placa. Substituindo os termos da equação pelos dados conhecido, temos:

τ = 1,89 × 10 - 6   m 2 / s × 286   s 0,003   m 2

τ = 60 , 0 6

Passo 4

Precisamos obter os valores de λ 1 e A 1 para uma parede plana em que o número Biot é 0,01 na tabela 4-2, “Coeficientes usados ​​na solução de aproximação de um termo da condução de calor unidimensional transitória em paredes planas, cilindros e esferas”. Assim, temos que:

λ 1 = 0,0998

A 1 = 1,0017

Considere a equação da diferença de temperatura na parede no centro para uma aproximação de um termo.

θ o , p a r e d e = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo os termos pelos dados conhecidos, temos:

θ o , p a r e d e = 1,0017 e - 0,0998 2 × 60 , 0 6

θ o , p a r e d e = 0,5507

Passo 5

Podemos calcular a transferência máxima de calor usando a seguinte equação:

Q m á x = m c p T i - T ∞

Aqui,  T ∞ é a temperatura ambiente,  T i é a temperatura inicial da placa,  c p é o calor específico e  m  é a massa da placa. Substituindo os termos pelos valores fornecidos, temos:

Q m á x = 10   k g × 808   J / k g ⋅ K × 500 ℃ - 25 ℃

Q m á x = 3838000   J

Q m á x = 3838   k J

Agora, podemos calcular a transferência de calor durante o processo de resfriamento pelo tempo especificado usando a seguinte equação:

Q = Q m á x 1 - θ o , p a r e d e sen ⁡ λ 1 λ 1

Substituindo os termos pelos valores conhecidos, temos:

Q = 3838   k J × 1 - 0,5507 × sen ⁡ 0,0998 0,0998

Q = 1728   k J

Portanto, a transferência de calor durante o processo de resfriamento por um período de 286   s é 1728   k J .

Passo 6

b) Para resolver a questão usando Fig. 4-16, vamos pular uns processos, pois já calculamos Biot, Fourier e a Transferência Máxima nos passos acima. O valor do número Biot conforme calculado na etapa anterior é 0,01 . O número de Fourier é 60,06 . A Transferência Máxima é 1728   k J .

Podemos começar calculando a seguinte relação B i 2 τ que é usada na Fig. 4-16. Assim, temos que:

B i 2 τ = 0,01 2 × 60,06 = 0,006

Com a os valores das relações B i 2 τ e B i , Podemos obter o valor da taxa de transferência de calor para um valor de  B i 2 τ = 0,006 e o ​​número de Biot como 0,01   na figura 4.16 (c), “Transferência de calor”. Assim, temos que:

Q Q m á x = 0,47

Substituindo o valor de Q m á x na equação acima, temos:

Q 3838   k J = 0,47

Q = 0,47 × 3838   k J

Q = 1803,86   k J

Portanto, a transferência de calor durante o processo de resfriamento por um período de 286   s é 1803,86   k J

Resposta

a) Q = 1728   k J

b) Q = 1803,86   k J

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