Enunciado

Uma barra longa de pirocerâmica ( ρ = 2.600   k g / m 3 ,   c p = 808   J / k g ⋅ K ,   k = 3,98   W / m ⋅ K   e   α = 1,89 × 10 - 6   m 2 / s ) com diâmetro de 10   m m tem uma temperatura inicial de 1.000 ℃ . A barra de pirocerâmica é autorizada a resfriar no ar ambiente a uma temperatura de 25 ℃ , e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 80   W / m 2 ⋅ K . Considerando que a barra de pirocerâmica é autorizada a esfriar por 3 minutos, determine a temperatura no centro da barra usando a a Tab. 4-2 e ( b ) o gráfico Heisler (Fig. 4-17).

Passo 1

Dados fornecidos no enunciado:

Densidade da barra de pirocerâmica: ρ = 2.600   k g / m 3

Calor específico da barra de pirocerâmica: c p = 808   J / k g ⋅ K

Condutividade térmica da barra de pirocerâmica: k = 3,98   W / m ⋅ K

Difusividade térmica da barra de pirocerâmica: α = 1,89 × 10 - 6   m 2 / s

Coeficiente de transferência de calor por convecção: h = 80   W / m 2 ⋅ K

Diâmetro da barra de pirocerâmica: D = 10   m m = 0,01   m

Raio da barra de pirocerâmica: r 0 = 0,005   m

Temperatura inicial da barra de pirocerâmica: T i = 1000 ℃

Temperatura do ar ambiente: T ∞ = 25 ℃

Tempo de resfriamento da barra de pirocerâmica: t = 3   m i n = 180   s

Passo 2

a) Para resolver essa questão, podemos começar calculando o número Biot para o processo de resfriamento da haste de pirocerâmica usando a seguinte relação:

B i = h r o k

Aqui, o  h é o coeficiente de transferência de calor por convecção,  r o é o comprimento característico da haste e k é o coeficiente de condução da haste. Substituindo os termos pelos dados fornecidos, temos:

B i = 80   W / m 2 ⋅ K × 0,005   m 3,98   W / m ⋅ K

B i = 0,1

Passo 3

Podemos agora, calcular o número de Fourier para esse processo usando a seguinte fórmula:

τ = α t r o 2

Aqui, τ é o número de Fourier,   α é a difusividade da haste de pirocerâmica, t é o tempo necessário para o resfriamento e r o é o raio da haste de pirocerâmica. Substituindo os termos pelos valores conhecidos, temos:

τ = 1,89 × 10 - 6   m 2 / s × 180   s 0,005   m 2

τ = 13,608

Passo 4

Podemos calcular a temperatura no centro da haste usando a solução para condução transiente unidimensional em um cilindro submetido a convecção em todas as superfícies. Como o número de Fourier é maior que 0,2 , podemos usar a solução de termo único. Como estamos interessados no centro do cilindro podemos usar a relação simplifica (4-27). A equação é a seguinte:

θ o , c i l i n d r o = T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Para o número de Biot B i = 0,1 podemos encontrar na tabela 4-2 os valore de λ 1 e A 1 . Assim temos que:

λ 1 = 0,4417

A 1 = 1,0246

Substituindo os termos da equação pelos valores conhecido temos:

T o - 25 ℃ 1000 ℃ - 25 ℃ = 1,0246 × e - 0,4417 2 × 13,608

T o = 25 ℃ + 975 ℃ × 0,07235

T o = 95,23 ℃

Passo 5

b) Para resolver essa questão usando o gráfico Heisler, podemos começar calculando o inverso do número de Biot  1 B i . Usando o número de Biot calculado no passo 1, temos:

1 B i = 1 0,1 = 10

Usando o inverso do número de Biot e o número do Fourier, podemos analisar o gráfico Heisler e obter o valor da temperatura adimensional no centro θ o .

Para 1 B i = 10 e τ = 13,608 usando a figura 4-17, o valor da temperatura adimensional no centro é:

θ o = 0,075

Passo 6

Podemos calcular a temperatura no centro da haste, como a seguinte relação:

θ o = T o - T ∞ T i - T ∞

Substituindo os termos da equação pelos valores conhecidos, temos:

0,075 = T o - 25 ℃ 1000 ℃ - 25 ℃

T o = 25 ℃ + 975 ℃ × 0,075

T o = 98,125 ℃

Resposta

a) T o = 95,23 ℃

b) T o = 98,125 ℃

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