Enunciado

No Problema 14.38, o transporte de N O 2 por difusão em uma atmosfera estagnada foi analisado sob condições de regime estacionário. Contudo, na realidade o problema é função do tempo e uma análise mais realista deveria levar em consideração os efeitos transientes. Considere que a emissão de N O 2 no nível do solo tenha início nas primeiras horas da manhã (em t   =   0 ), quando a concentração de N O 2 na atmosfera é, em todo lugar, igual a zero. A emissão ocorre ao longo de todo o dia, a um fluxo constante n " A , x   e o N O 2 novamente participa de uma reação fotoquímica de primeira ordem na atmosfera (   N ˙ A   =   – k 1 C A   ) .  

(a) Para um elemento diferencial na atmosfera, deduza uma equação diferencial que possa ser usada para determinar a concentração molar C A ( x ,   t ) . Estabeleça condições inicial e de contorno apropriadas.

(b) Obtenha uma expressão para C A ( x ,   t ) sob a condição particular na qual as reações fotoquímicas podem ser desprezadas. Nessa condição, quais são as concentrações molares de N O 2 no nível do solo e a 100   m de altura, após transcorridas 3 horas do início das emissões, sendo N " A , 0 =   3   x   10 - 11   k m o l / ( s · m 2 ) e D A B =   0,15   x   10 - 4   m 2 / s ?

Passo 1

Nessa questão nós temos o fluxo de N O 2 no nível do solo em uma atmosfera urbana estagnada. A partir disso vamos encontrar a equação diferencial e as condições de contorno para a concentração molar de N O 2 e a concentração de N O 2 no nível do solo três horas após o início das emissões.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir:

(1) Difusão unidimensional em meio estacionário;

(2) Concentração molar total uniforme;

(3) Propriedades constantes.

Aplicando o requisito de conservação de espécies em uma base molar para uma área unitária do volume de controle,

N " A , x - k 1 C A d x - N " A , x + d x = ∂ C A ∂ t d x

Com,

N " A , x + d x = N " A , x + ∂ N " A , x ∂ x

E,

N " A , x + d x = - D A B ∂ C A ∂ x

Passo 3

Segue que,

D A B ∂ 2 C A ∂ x 2 - k 1 C A = ∂ C A ∂ t

Para a condição inicial temos,

C A x , 0 = 0

Condições de contorno,

- D A B d C A d x x = 0 = N " A , 0

C A ∞ , t = 0

Passo 4

Essa questão é análoga ao Caso (2) da Fig. 5.7 para condução de calor em um meio semi-infinito. Portanto, por analogia com a Eq. 5,62, com,

k ↔ D A B

E,

α ↔ D A B

C A x , t = 2 N " A , 0 t π D A B 1 2 exp ⁡ - x 2 4 D A B t - N " A , 0 x D A B e r f c   x 2 D A B t 1 2

Ao nível do solo ( x   =   0 ) e 3 h ,

C A 0,3 h = 2 N " A , 0 t π D A B 1 2

C A 0,3 h = 2 3 × 10 - 11 k m o l s . m 2 10800 s π × 0,15 × 10 - 4 m 2 s 1 2 = 9,08 × 10 - 7   k m o l / m 3

Resposta

  1. D A B ∂ 2 C A ∂ x 2 - k 1 C A = ∂ C A ∂ t
  2. C A x , 0 = 0

    C A ∞ , t = 0

  3. C A 0,3 h = 9,08 × 10 - 7   k m o l / m 3
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