Enunciado

No Problema 3.79, a fita aquecedora atua como um protetor contra as perdas de calor da parede para o exterior e o fluxo térmico q ˙ e ' ' necessário para tal depende de condições operacionais na câmara, tais como q ˙ e T ∞ , i . Como uma primeira etapa no projeto de um controlador para o aquecedor protetor, calcule e represente graficamente q ˙ e ' ' e T 0 em função de q ˙ para 200 ≤ q ˙ ≤ 2000   W / m 3 e T ∞ , i = 30 ; 50 e 70 ℃ .

Passo 1

Fala Galera!!

Para resolver essa questão, vamos precisar dos seguintes dados fornecidos no enunciado da questão 3.79.

DADOS FORNECIDOS:

Temperatura do ar no interior da câmara: T ∞ , i = 30 ; 50 e 70 ℃

Temperatura externa: T ∞ , e = 25 ℃

Coeficiente convectivo externo: h e = 5   W / m 2 ⋅ K

Coeficiente convectivo no interior da câmara: h i = 20   W / m 2 ⋅ K

Espessura da parede: L = 200   m m = 0,2   m

Condutividade térmica da parede: k = 4   W / m ⋅ K

Geração volumétrica de calor: q ˙ = 200 ≤ q ˙ ≤ 2000   W / m 3

PRESSUPOSTOS:

(1) condições de estado estacionário;

(2) condução unidimensional;

(3) geração volumétrica uniforme;

(4) propriedades constantes.

Passo 2

Podemos fazer o seguinte esquema do processo:

Se nenhum calor gerado dentro da parede for perdido para o exterior da câmara, o gradiente na posição x = 0 deve ser zero. Como q ˙ é uniforme, a distribuição de temperatura deve ser parabólica. Assim, podemos escrever a solução geral para a condução de calor em estado estacionário com geração interna de calor em uma parede plana.

T x = - q ˙ 2 k x 2 + C 1 x + C 2                       E q . 1

Aqui, q ˙ é o calor interno gerado na parede, k é a condutividade térmica da parede plana e C 1 e C 2 são as constantes de integração. Queremos encontrar C 1 e C 2 , para isso, podemos aplicar as condições de contorno.

Passo 3

A primeira condição de contorno na câmara externa onde não a perde de calor para fora da câmara, portando

- k d T d x x = 0   = 0

Aqui, k é a condutividade térmica da parede plana. Aplicando a condição de contorno na equação 1 temos o seguinte:

- k d d x - q ˙ 2 k x 2 + C 1 x + C 2 x = 0   = 0

- k - q ˙ k x + C 1 x = 0   = 0

q ˙ x - k C 1 x = 0   = 0

k C 1 = 0

C 1 = 0

Passo 4

A segunda condição de contorno na câmara interna é a seguinte:

- k d T d x x = L   = h i T - T ∞ , i

Aqui, h i é o coeficiente de transferência de calor, T ∞ , i é a temperatura da água e é a temperatura quando x = L . Aplicando a condição de contorno na equação 1 temos o seguinte:

- k d d x - q ˙ 2 k x 2 + C 2 x = L   = h i - q ˙ 2 k L 2 + C 2 - T ∞ , i

- k - q ˙ k x x = L   = h i - q ˙ L 2 2 k + C 2 - T ∞ , i

q ˙ L = h i - q ˙ L 2 2 k + C 2 - T ∞ , i

q ˙ L h i = - q ˙ L 2 2 k + C 2 - T ∞ , i

C 2 = q ˙ L h i + q ˙ L 2 2 k + T ∞ , i

Assim, temos que a equação 1 se torna a seguinte:

T x = - q ˙ 2 k x 2 + q ˙ L h i + q ˙ L 2 2 k + T ∞ , i  

T x = - q ˙ 2 k x 2 + q ˙ L 1 h i + L 2 k + T ∞ , i  

Passo 5

Agora, podemos calcular o fluxo de calor a ser fornecido pela fita aquecedora usando a equação geral do balanço energético da parede plana. Como o calor gerado pela fita tem que ser igual ao calor perdido pela convecção do ar externo com a parede, assim, podemos dizer o seguinte:

q e ' ' = h e T 0 - T ∞ , e

Aqui, h e é o coeficiente de transferência de calor da câmara externa, T 0 é a temperatura da parede plana em x = 0  e T ∞ , e é a temperatura do ar ambiente na câmara externa. Substituindo T 0 na equação acima, temos:

q e ' ' = h e - q ˙ 2 k 0 2 + q ˙ L 1 h i + L 2 k + T ∞ , i - T ∞ , e

q e ' ' = h e q ˙ L 1 h i + L 2 k + T ∞ , i - T ∞ , e

Substituindo os termos da equação acima e deixando ela em função de q ˙ e T ∞ , i , temos o seguinte:

q e ' ' = 5   W / m 2 ⋅ K q ˙ 0,2   m 1 20   W / m 2 ⋅ K + 0,2   m 2 4   W / m ⋅ K + T ∞ , i - 25 ℃

q e ' ' = 0,075   m   q ˙ + 5   W / m 2 ⋅ K T ∞ , i - 125 W / m 2

Passo 6

Com a equação encontrada no passo anterior, podemos calcular o fluxo de calor variando em função da temperatura interna câmara T ∞ , i e da geração volumétrica de calor na parede q ˙ . Fixando T ∞ , i = 30 ℃ e variando q ˙ de 200 a 2000   W / m 3 , podemos produzir a seguinte tabela de dados.

Fixando T ∞ , i = 5 0 ℃ e variando q ˙ de 200 a 2000   W / m 3 , podemos produzir a seguinte tabela de dados.

Fixando T ∞ , i = 7 0 ℃ e variando q ˙ de 200 a 2000   W / m 3 , podemos produzir a seguinte tabela de dados.

Passo 7

Com os dados tabelados acima, podemos plotar o seguinte gráfico para o fluxo de calor em função da taxa de geração de calor e da temperatura no interior da câmara.

Passo 8

Agora, queremos plotar o gráfico da temperatura da parede plana quando x = 0 . Para isso vamos usar a equação que encontramos no passo 4. Assim temos:

T x = - q ˙ 2 k x 2 + q ˙ L 1 h i + L 2 k + T ∞ , i  

Substituindo x = 0 Temos o seguinte:

T 0 = q ˙ L 1 h i + L 2 k + T ∞ , i

Agora, podemos substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos e deixando ela em função de q ˙ e T ∞ , i , temos o seguinte:

T 0 = q ˙ 0,2   m 1 20   W / m 2 ⋅ K + 0,2   m 2 4   W / m ⋅ K + T ∞ , i

T 0 = 0,0 1 5   m   q ˙ + T ∞ , i

Passo 9

Com a equação encontrada no passo anterior, podemos calcular temperatura em x = 0 variando em função da temperatura interna câmara T ∞ , i e da geração volumétrica de calor na parede q ˙ . Fixando T ∞ , i = 30 ℃ e variando q ˙ de 200 a 2000   W / m 3 , podemos produzir a seguinte tabela de dados.

Fixando T ∞ , i = 5 0 ℃ e variando q ˙ de 200 a 2000   W / m 3 , podemos produzir a seguinte tabela de dados.

Fixando T ∞ , i = 7 0 ℃ e variando q ˙ de 200 a 2000   W / m 3 , podemos produzir a seguinte tabela de dados.

Passo 10

Com os dados tabelados acima, podemos plotar o seguinte gráfico para a temperatura da parede plana quando x = 0 em função da taxa de geração de calor e da temperatura no interior da câmara.

Resposta

q e ' ' = h e q ˙ L 1 h i + L 2 k + T ∞ , i - T ∞ , e

q e ' ' = 0,075   m   q ˙ + 5   W / m 2 ⋅ K T ∞ , i - 125 W / m 2

T 0 = q ˙ L 1 h i + L 2 k + T ∞ , i

T 0 = 0,015   m   q ˙ + T ∞ , i

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