Enunciado

Considere geração uniforme de energia térmica no interior de uma parede unidimensional de espessura L , com uma superfície mantida a T s , 1 e a outra superfície isolada termicamente.

(a) Determine uma expressão para o fluxo térmico condutivo para a parede fria e para a temperatura da parede quente T s , 2 , expressando os seus resultados em termos de k , q ˙ , L e T s , 1 .

(b) Compare o fluxo térmico encontrado na parte (a) com o fluxo térmico associado a uma parede plana sem geração de energia, cujas temperaturas superficiais estão a T s , 1 e T s , 2 .

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos considerar o seguinte esquema de uma parede plana com geração de calor.

PRESSUPOSTOS:

(1) Condições em estado estacionário;

(2) Propriedades constantes;

(3) Transferência de calor unidimensional;

(4) Geração volumétrica uniforme.

Passo 2

(a) Temos que a equação geral para transferência de calor pode ser escrita da seguinte maneira:

T x = - q ˙ 2 k x 2 + C 1 x + C 2

Aqui, T x é a temperatura na direção de  x , q ˙ é a taxa de transferência de calor, k é a condutividade térmica da parede, x é à distância ao longo da parede na direção vertical e C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Queremos encontrar C 1 e C 2 para isso, podemos usar as condições de contorno. A primeira condição se dá ao fato de que uma das superfícies da parede está isolada. A expressão de fluxo térmico condutivo é a seguinte.

q ' ' x = - k d T d x

Para x = 0 , não a fluxo devido ao isolamento. Assim

0 = - k - q ˙ k 0 + C 1

C 1 = 0

Agora vamos usar a segunda condição de contorno. Quando x = L , temos que T x = T s , 1 . Assim temos que:

T x = - q ˙ 2 k x 2 + C 2

T s , 1 = - q ˙ 2 k L 2 + C 2

C 2 = q ˙ L 2 2 k + T s , 1

Assim, temos que a equação de distribuição de temperatura é:

T x = - q ˙ 2 k x 2 + q ˙ L 2 2 k + T s , 1

Passo 4

Para encontrar uma equação que represente a temperatura T s , 2 , podemos substituir x = 0 na função acima. Assim temos:

T s , 2 = q ˙ L 2 2 k + T s , 1

Podemos encontrar uma expressão para o fluxo térmico condutivo para a parede fria usando a equação de distribuição de temperatura e expressão de fluxo térmico quando x = L . Assim temos:

q ' ' x = - k d T d x

q ' ' x = - k d d x - q ˙ 2 k x 2 + q ˙ L 2 2 k + T s , 1

q ' ' x = - k - q ˙ k x

q ' ' x = q ˙ x

q ' ' L = q ˙ L

q 1 ' ' = q ˙ L

Portanto a expressão para o fluxo térmico condutivo para a parede fria é:

q 1 ' ' = q ˙ L

Passo 5

(b) Para uma parede plana sem geração de energia, a distribuição de temperatura é dada pela equação 3.3. Assim, temos o seguinte:

T x = T s , 2 - T s , 1 x L + T s , 1

Podemos encontrar uma expressão para o fluxo térmico condutivo para a parede Da seguinte maneira:

q ' ' = - k d T d x

q ' ' = - k d d x T s , 2 - T s , 1 x L + T s , 1

q ' ' = - k T s , 2 - T s , 1 L

q ' ' = T s , 1 - T s , 2 k L

Portanto a expressão para o fluxo térmico condutivo para a parede:

q ' ' = T s , 1 - T s , 2 k L

Resposta

(a)

T s , 2 = q ˙ L 2 2 k + T s , 1

q 1 ' ' = q ˙ L

(b)

q ' ' = T s , 1 - T s , 2 k L

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