Enunciado

Características específicas de materiais biologicamente ativos, como frutas, vegetais e outros produtos, fazem com que eles necessitem de cuidado especial no manuseio. Após a colheita e a separação das plantas produtoras, a glicose é catabolizada, produzindo dióxido de carbono, vapor d’água e calor, com a consequente geração interna de energia. Seja uma caixa de maçãs, cada uma com 80 mm de diâmetro, que é ventilada com ar a 5°C e a uma velocidade de 0,5 m/s. O valor correspondente do coeficiente de transferência de calor é de 7,5 W/(m² · K). No interior de cada maçã, energia térmica é gerada uniformemente a uma taxa total de 4000 J/(kg · dia). A massa específica e a condutividade térmica da maçã são 840 kg/m³ e 0,5 W/(m · K), respectivamente.

(a) Determine as temperaturas no centro e na superfície das maçãs.

(b) Para uma pilha de maçãs no interior de uma caixa, o coeficiente convectivo depende da velocidade do ar na forma h = C 1 V 0,425 , na qual C 1 = 10,1   W / ( m 2 . K m . s 0,425 )   . Calcule e represente graficamente as temperaturas no centro e na superfície das maçãs em função da velocidade do ar para 0,1 ≤ V ≤ 1 m/s.

Passo 1

Tá legal! Para começar a letra (a) vamos escrever a equação para o perfil de temperatura nas maçãs. Vamos modelar cada uma delas como se fosse uma esfera, então, nesse caso, onde temos uma esfera e geração, o perfil de temperatura pode ser escrito como:

T r = q ˙ r e 2 6 k 1 - r 2 r e 2 + T s

Então, aplicando um balanço de energia na maça, nós temos que o calor gerado no sistema será trocado por convecção, então, podemos escrever:

E ˙ g = E ˙ c o n v → q ˙ V = q c o n v

Então, abrindo as expressões, chegamos em:

q ˙ 4 π r e 3 3 = 4 π r e 2 h T s - T ∞ → r e q ˙ 3 h = T s - T ∞ → T s = r e q ˙ 3 h + T ∞

Passo 2

Agora, precisamos encontrar a taxa de geração volumétrica para cada maçã em W / m 3 , então, convertendo o dado que foi dado, temos:

q ˙ = 4000 J k g . d i a 840   k g m 3 1   d i a 24   h 1   h 60   m i n 1   m i n 60   s → q ˙ = 38,9   W / m 3

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação obtida no passo 1, dessa forma, temos:

T s = r e q ˙ 3 h + T ∞ = 0,04 38,9 3 7,5 + 5 → T s = 5,07   ° C

Agora então podemos encontrar a temperatura no centro das maçãs, utilizando o perfil de temperatura descrito no passo 1, então, em r = 0 , teremos:

T 0 = q ˙ r e 2 6 k 1 - 0 2 r e 2 + T s = 38,9 0,04 2 6 0,5 1 - 0 + 5,07 → T ( 0 ) = 5,09   ° C

Passo 3

Agora, para a letra (b), nós iremos aplicar o mesmo balanço de energia aplicado no passo 1, chegando em:

T s = r e q ˙ 3 h + T ∞

Só que agora, nós temos o coeficiente convectivo como sendo:

h = C 1 V 0,425

Então, a equação acima se torna:

T s = r e q ˙ 3 C 1 V 0,425 + T ∞

E, vamos substituir essa expressão na equação para o perfil de temperatura, então, teremos:

T r = q ˙ r e 2 6 k 1 - r 2 r e 2 + r e q ˙ 3 C 1 V 0,425 + T ∞

E, fazendo r = 0 para obter a temperatura no centro das maçãs, a equação acima se torna:

T 0 = q ˙ r e 2 6 k + r e q ˙ 3 C 1 V 0,425 + T ∞

Agora, vamos plotar as duas temperaturas, tanto na superfície, quanto no centro das maçãs, com o auxílio das equações acima, para o intervalo de velocidade de interesse. Dessa forma, teremos:

Resposta

a :   T s = 5,07   ° C

a :   T ( 0 ) = 5,09   ° C

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