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No Problema 7.23, um projeto de um anemômetro foi analisado e a hipótese de temperatura na tira uniforme foi feita. Essa é uma boa hipótese quando o coeficiente de transferência de calor é baixo ou a condutividade térmica da tira é alta, pois a condução na tira redistribui o calor e torna a temperatura da tira uniforme. Entretanto, na medida em que o coeficiente de transferência de calor aumenta ou a condutividade térmica da tira diminui, o calor gerado em um ponto da tira deixa a superfície próximo a esse ponto e a condição térmica é mais próxima da de fluxo térmico uniforme na superfície.

  1. Desenvolva as equações de calibração para as condições de fluxo térmico na superfície constante e temperatura na superfície constante, isto é, ache as equações que preveem a velocidade como uma função da potência por unidade de largura da tira, P ' ( m W / m m ) , e da temperatura medida na aresta de saída (como no Problema 7.23). Suponha condições de escoamento laminar.
  2. Se a condição real for de fluxo térmico na superfície uniforme, mas a calibração para a temperatura superficial uniforme for usada, qual o erro percentual que ocorrerá na determinação da velocidade?
  3. Onde o termopar poderia ser colocado de maneira que a calibração fique insensível em relação às condições térmicas de temperatura superficial uniforme ou fluxo térmico na superfície uniforme?

Passo 1

Como esta é uma questão com várias letras, é importante não nos assustarmos e começarmos a resolver uma de cada vez. Se formos devagar, não iremos nos confundir!

Na letra a), temos que determinar equações que preveem a velocidade u ∞ como função da potência P ' sob duas condições distintas: fluxo térmico na superfície constante e temperatura na superfície constante.

Independente do modo que estamos analisando, a relação de potência será expressa por:

P ' = 2 q '

P ' = 2 h L T s - T ∞

Certo? E da onde irá surgir o termo de velocidade? E aonde que irá influenciar o modo que estamos analisando a função?

Ambas as perguntas tem a mesma resposta: tudo irá depender da correlação que utilizaremos para calcular o coeficiente de transferência de calor h .

Passo 2

Agora, vamos analisar cada modo separadamente e os seus efeitos para a nossa modelagem. Começaremos pelo caso de fluxo térmico constante.

Supondo escoamento laminar, no caso de fluxo térmico constante, a correlação que devemos utilizar para o número de Nusselt é:

N u L = 0,453 ⋅ R e L 1 / 2 ⋅ P r 1 / 3

N u L = 0,453 u ∞ L ν 1 / 2 P r 1 / 3

N u L = 0,453 u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3

Assim, o coeficiente de transferência de calor será:

h L L k = N u L = 0,453 u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3

h L = k L 0,453 u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3

Substituindo agora este termo na equação da potência, temos:

P ' = 2 h L L T s - T ∞

P ' = 2 k L 0,453 u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3 L T s - T ∞

P ' = 0,906 k u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3 T s - T ∞

Isolando o termo u ∞ , vamos obter a seguinte equação:

u ∞ = P ' 0,906 k L ν 1 2 P r 1 3 T s - T ∞ 2  

E assim obtemos a nossa primeira relação!

Passo 3

Devemos agora repetir tudo que foi feito no Passo 2, só que para o caso de temperatura constante na superfície da tira. Assim, a correlação que devemos utilizar é:

N u - L = 0,664 ⋅ R e L 1 / 2 ⋅ P r 1 / 3

N u - L = 0,664 u ∞ L ν 1 / 2 P r 1 / 3

N u - L = 0,664 u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3

Assim, o coeficiente de transferência de calor será:

h - L L k = N u - L = 0,664 u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3

h - L = k L 0,664 u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3

Substituindo agora este termo na equação da potência, temos:

P ' = 2 h - L L T s - T ∞

P ' = 2 k L 0 , 664 u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3 L T s - T ∞

P ' = 1,328 k u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3 T s - T ∞

Isolando o termo u ∞ , vamos obter a seguinte equação:

u ∞ = P ' 1,328 k L ν 1 2 P r 1 3 T s - T ∞ 2  

E assim obtemos a nossa segunda relação, finalizando a letra a)!

Passo 4

Agora, vamos para a letra b). Lá a questão nos informa que a situação real era de fluxo térmico constante. Assim, deveríamos ter utilizado a relação desenvolvida para este caso.

Entretanto.... na hora da calibração, utilizaram a relação errada, para o caso de temperatura constante na superfície.

E agora, qual será o erro na medição da velocidade? Precisamos determinar este erro.

Então, o que temos que fazer é basicamente uma regra de 3. Se a velocidade calculada pelo fluxo constante está para a velocidade real, a velocidade calculada para temperatura constante está para quem? Isto é:

u ∞ , t e m p e r a t u r a u ∞ , f l u x o = x u r e a l

P ' 1,328 k L ν 1 2 P r 1 3 T s - T ∞ 2 P ' 0,906 k L ν 1 2 P r 1 3 T s - T ∞ 2 = x u r e a l

0,906 1,328 2 = x u r e a l

0,465 = x u r e a l

x = 0,465 u r e a l

Então, a velocidade medida consiste em 46,5% da velocidade real. Portanto, o nosso erro será igual a 53,5%

Passo 5

Para finalizarmos a questão, precisamos calcular o ponto x em que o termopar não iria diferenciar se estamos trabalhando com fluxo térmico ou temperatura constante.

No final, isto é uma frase bonita para perguntar o seguinte: qual o valor de x em que ambas as temperaturas são iguais, assim como a velocidade?

Simples, né? Bom, então, precisamos escrever as equações para T s ,   f l u x o e T s , t e m p e r a t u r a , os casos de fluxo constante e temperatura constante, respectivamente. Para isto, vamos precisar voltar um pouco, lá nos Passos 2 e 3 para conseguir esta relação.

Começando pelo caso de fluxo constante, vamos obter uma equação que depende da posição x . Portanto, temos:

P ' = 2 h x L T s , f l u x o - T ∞

P ' = 2 k x 0,453 u ∞ 1 / 2 x ν 1 / 2 P r 1 / 3 L T s , f l u x o - T ∞

T s , f l u x o = T ∞ + x P ' 0,906 k u ∞ 1 / 2 x ν 1 / 2 P r 1 / 3 L

T s , f l u x o = T ∞ + x 1 / 2 P ' 0,906 k u ∞ 1 / 2 ν - 1 / 2 P r 1 / 3 L

E para o caso de temperatura constante? Como ela não depende de x (afinal, é constante), temos:

P ' = 2 h - L L T s , t e m p e r a t u r a - T ∞

P ' = 2 k L 0,664 u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3 L T s , t e m p e r a t u r a - T ∞

P ' = 1,328 k u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3 T s , t e m p e r a t u r a - T ∞

T s , t e m p e r a t u r a = T ∞ + P ' 1,328 k u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3

Agora, basta igualarmos as duas expressões e descobrir qual o valor de x que as satisfaz. Assim, temos:

T s , t e m p e r a t u r a = T s , f l u x o

T ∞ + P ' 1,328 k u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3 = T ∞ + x 1 / 2 P ' 0,906 k u ∞ 1 / 2 ν - 1 / 2 P r 1 / 3 L

P ' 1,328 k u ∞ 1 / 2 L ν 1 / 2 P r 1 / 3 = x 1 / 2 P ' 0,906 k u ∞ 1 / 2 ν - 1 / 2 P r 1 / 3 L

1 1,328 ⋅ L 1 / 2 = x 1 / 2 0,906 L

x L = 0,906 1,328 2 = 0,465

Portanto, a posição que este caso ocorrerá será em 46,5% do comprimento total da tira.

Resposta

  1. Para o caso de fluxo térmico constante na superfície, temos a seguinte relação:
  2. u ∞ = P ' 0,906 k L ν 1 2 P r 1 3 T s - T ∞ 2  

    Para o caso de temperatura constante na superfície, temos a seguinte relação:

    u ∞ = P ' 1,328 k L ν 1 2 P r 1 3 T s - T ∞ 2  

  3. O erro será igual a 53,5%
  4. Se o termopar for colocado em 46,5% do comprimento total, a calibração ficará insensível para ambos os casos.

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