Enunciado

No Problema P5.61 seria difícil resolver em função de ômega porque ele aparece nos três coeficientes adimensionais da bomba. Considere que, no Problema 5.61, omega seja desconhecido mas D = 12 cm e Q =25 m3/h. O fluido é gasolina a 20°C. Reformate os coeficientes, usando os dados do Problema P5.61, para fazer um gráfico da potência adimensional em função da rotação adimensional. Use esse gráfico para encontrar a máxima rotação omega para a qual a potência não ultrapassará 300 W.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, nós vamos tentar uma abordagem diferente para o Problema 5.61. Lá, a gente tinha um protótipo de uma bomba centrífuga, onde foram deduzidos dois grupos adimensionais, dados por:

Π 1 = P ρ Ω 3 D 5

Π 2 = Q Ω D ³

Sendo: P a potência da bomba; ρ a massa específica do fluido; Ω a rotação da bomba; D o diâmetro do rotor da bomba e Q a vazão volumétrica do escoamento.

Além disso, o gráfico do Problema 5.61 nos fornece uma relação entre esses dois grupos adimensionais:

Π 1 = 0,5 + 3 Π 2

O enunciado desta questão pede que a gente encontre a rotação Ω para uma potência P = 300   W , D = 0,12   m e   Q   = 6,94 × 10 - 3   m ³ / s bombeando gasolina ( ρ = 680   k g / m ³ ).

Mas qual é nosso problema? Se a gente fizesse um gráfico de Π 1 em função de Π 2 ficaria muito difícil resolver pra encontrar Ω , pois o termo está no denominador dos dois grupos adimensionais com potências diferentes.

A questão propõe então que a gente faça uma reformatação do problema e construa um gráfico de um novo termo de potência adimensional e encontre o valor de Ω para essa situação.

Então vem comigo pra gente resolver esse problema juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos encontrar um novo grupo adimensional Π 3 que não dependa da rotação Ω e dependa diretamente de Π 1 e Π 2 .

Vamos analisar novamente Π 1 :

Π 1 = P ρ Ω 3 D 5

Para eliminar Ω deveríamos multiplicar ambos os lados da equação por Ω ³ . Mas se quisermos manter a equação adimensional, devemos na verdade multiplicar por Ω 3 D 9 / Q ³ , pois assim as dimensões se cancelam.

Dessa forma, Π 3 será dado por:

Π 3 = P ρ Ω 3 D 5 Ω 3 D 9 Q 3  

Mas se você prestar atenção vai ver que o grupo Ω 3 D 9 / Q ³ na verdade é nada mais que 1 / Π 2 ³ . Sendo assim:

Π 3 = P ρ Ω 3 D 5 Ω D 3 Q 3 = Π 1   Π 2 3 = P D 4 ρ Q ³

Passo 3

Com a expressão obtida no passo anterior e com a relação entre Π 1 e Π 2 demonstrada no Passo 1, podemos simplesmente construir um gráfico de Π 3 em função de Π 2 , como demonstrado abaixo:

Para essa curva, um ajuste polinomial foi realizado, resultando na equação Π 3 = 2,8217 Π 2 - 2,56 .

Agora, vamos calcular o valor de Π 3 para as especificações do enunciado:

Π 3 =   P D 4 ρ Q ³ = 300   W 0,12   m 4 680   k g / m ³ 6,94 × 10 - 3 m 3 s 3 = 274

Substituindo em nosso ajuste polinomial, encontramos um valor de Π 2 = 0,167 .

Com esse resultado, podemos finalmente calcular Ω e finalizar o problema:

6,94 × 10 - 3 m 3 s Ω ( 0,12   m ) ³ =   0,167

Ω = 24   r p s

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A máxima rotação para a qual a potência não ultrapassará 300   W é Ω = 24   r p s

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