Enunciado

Sabendo que Dp é proporcional a L, reformate os dados do Exemplo 5.10 para fazer o gráfico adimensional de Dp em função do diâmetro adimensional. Use esse gráfico para encontrar o diâmetro necessário na primeira linha de dados no Exemplo 5.10 se a queda de pressão for aumentada para 10 kPa para a mesma vazão, comprimento e fluido.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, nós vamos tentar uma abordagem diferente para o Exemplo 5.10.

Lá, foi deduzida uma expressão para a queda de pressão em função da velocidade média do escoamento ( V ), viscosidade ( μ ), comprimento ( L ) e diâmetro ( D ) do tubo, dada por:

ρ D ³ ∆ p L μ ²   ≅ 0,155 ρ V D μ 1,75

O enunciado nos pede para calcular o diâmetro do tubo a partir desta equação. O problema é que a velocidade é desconhecida, então iremos deduzir um novo grupo adimensional Π 3 , independente da velocidade.

Depois, iremos plotar um gráfico de Π 3 em função de outro grupo adimensional Π 4 que devemos deduzir.

Por fim, com essa nova expressão, iremos calcular o diâmetro D do tubo para os dados da primeira linha da tabela que ilustra o Exemplo 5.10, considerando uma queda de pressão ∆ p = 10000   P a .

Então vem comigo pra gente resolver esse problema juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos encontrar um novo grupo adimensional Π 3 que não dependa da velocidade V .

Vamos analisar novamente pra equação que eu te mostrei no Passo 1:

ρ D ³ ∆ p L μ ²   ≅ 0,155 ρ V D μ 1,75

Como primeiro passo, devemos substituir a velocidade por V = 4 Q / π D ² :

ρ D ³ ∆ p L μ ²   ≅ 0,155 4 π ρ Q μ D 1,75 = 0,236 ρ Q μ D 1,75

Para eliminar D do lado esquerdo, devemos dividir ambos os lados da equação por D ³ . No entanto, para manter a equação adimensional, devemos multiplicar ambos os lados da equação por ( ρ Q / μ D ) ³ :

ρ D 3 ∆ p L μ 2 ρ Q μ D 3   = 0,236 ρ Q μ D 4 , 75

Podemos deduzir então, dois novos grupos adimensionais:

Π 3 = ρ D 3 ∆ p L μ 2 ρ Q μ D 3 =   ρ 4 Q 3 ∆ p L μ 5

Π 4 = ρ Q μ D

Logo, temos a seguinte relação:

Π 3 =   0,236 Π 4 4,75

Devemos então traçar o gráfico de Π 3 em função de Π 4 como pede a questão:

Passo 3

Com a expressão obtida no passo anterior e com a relação entre Π 3 e Π 4 , e com os dados da primeira linha da tabela do Exemplo 5.10, ou seja, L = 5   m , Q = 8,3 × 10 - 5   m 3 / s , ρ = 680   k g / m ³ e μ = 2,92 × 10 - 4   k g / m . s , podemos calcular o diâmetro.

Em primeiro lugar, vamos calcular Π 3 :

Π 3 = ρ 4 Q 3 ∆ p L μ 5 = 680   k g / m ³ 4 8,3 × 10 - 5   m 3 / s 3 10000   P a 5   m 2,92 × 10 - 4   k g / m . s 5 = 1,15 × 10 20

Dessa maneira, temos que Π 4 = 22670

E assim, finalmente podemos calcular D :

680   k g / m ³   8,3 × 10 - 5   m 3 / s 2,92 × 10 - 4   k g / m . s D = 22670  

D = 0,0085   m

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

O diâmetro necessário é D = 0,0085   m

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