Enunciado

Na produção de folhas metálicas ou plásticas, é costume resfriar o material antes que ele deixe o processo de produção para armazenamento ou embarque para o cliente. Tipicamente, o processo é contínuo, com uma folha de espessura δ e largura W sendo resfriada enquanto transita por uma distância L, com uma velocidade V, entre dois rolos. Neste problema, consideramos o resfriamento de uma liga de alumínio (2024-T6) por uma corrente de ar, que se move a uma velocidade u ∞ no sentido oposto ao da velocidade da folha e sobre a sua superfície superior. Um promotor de turbulência é usado para propiciar um desenvolvimento de camada-limite turbulenta sobre toda a superfície.

  1. Aplicando a conservação de energia em uma superfície de controle diferencial de comprimento d x , que se move com a folha ou está estacionária e através da qual a folha passa, deduza uma equação diferencial que governe a distribuição de temperaturas ao longo da folha. Em função da baixa emissividade do alumínio, os feitos radiantes podem ser desprezados. Escreva o seu resultado em termos da velocidade, da espessura e das propriedades da folha V ,   δ , ρ , c p , do coeficiente convectivo local h x , associado ao escoamento oposto e da temperatura do ar. Para uma temperatura da folha T i no início do resfriamento conhecida e influência desprezível da velocidade da folha no desenvolvimento da camada-limite, resolva a equação e obtenha uma expressão para a temperatura na saída T s .
  2. Para δ = 2   m m , V = 0,10   m / s , L = 5   m , W = 1   m , u ∞ = 20   m / s , T ∞ = 20   ° C e T i = 300   ° C , qual é a temperatura na saída T s ?

Passo 1

O grande trabalho desta questão é encontrar a equação diferencial que governa o nosso problema. Para encontrarmos esta equação, precisaremos fazer um balanço de energia.

Neste caso, como vamos partir de elementos diferenciais, ajuda bastante fazermos um simples esboço, como o esboço abaixo, para ajudar a gente na hora de elaborar os termos. Então,

Vamos considerar o nosso volume de controle parado. Isto implica em dizer que estamos em regime permanente, pois não há acumulo de calor no elemento. Como também não há termo de geração de calor, temos o seguinte balanço:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g e r a d a = E ˙ a c u m u l a d a

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = 0

Passo 2

Agora, quem é o termo que entre e quem é o que sai? O termo que entre é a energia do elemento na posição x + d x . Este termo é:

E ˙ e n t r a = ρ ⋅ A t r a n s v e r s a l ⋅ d x ⋅ c p ⋅ T + d T d t = ρ ⋅ A t r a n s v e r s a l ⋅ c p ⋅ T + d T ⋅ d x d t

E ˙ e n t r a = ρ ⋅ A t r a n s v e r s a l ⋅ c p ⋅ T + d T ⋅ V

E ˙ e n t r a = ρ ⋅ δ ⋅ W ⋅ c p ⋅ T + d T ⋅ V

E qual é o termo que sai? É devido a ação da convecção e também a parte devido a energia do elemento. Então, temos:

E ˙ s a i = ρ ⋅ A t r a n s v e r s a l ⋅ d x ⋅ c p ⋅ T d t + d q

E ˙ s a i = ρ ⋅ A t r a n s v e r s a l ⋅ c p ⋅ T ⋅ d x d t + h x ⋅ A s u p e r f í c i e ⋅ T - T ∞

E ˙ s a i = ρ ⋅ δ ⋅ W ⋅ c p ⋅ T ⋅ V + h x ⋅ d x ⋅ W ⋅ T - T ∞

Portanto, o nosso balanço de energia é:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = 0

ρ ⋅ δ ⋅ W ⋅ c p ⋅ T + d T ⋅ V - ρ ⋅ δ ⋅ W ⋅ c p ⋅ T ⋅ V + h x ⋅ d x ⋅ W ⋅ T - T ∞ = 0

ρ ⋅ δ ⋅ c p ⋅ d T ⋅ V - h x ⋅ d x ⋅ T - T ∞ = 0

d T d x = h x ⋅ T - T ∞ ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p

E esta é nossa equação diferencial.

OBS: vocês podem ter estranhado os termos de energia do elemento e achados eles bastante semelhantes ao termo de acúmulo de energia. E sim, estão corretos.

Só que nós só podemos considerar eles como termo de acúmulo se estivermos em regime transiente. E para que isto ocorra, o nosso volume de controle deve se mover com a folha. Neste caso só teríamos o termo de saída devido a convecção e o termo de acúmulo.

Passo 3

Agora, vamos resolver a nossa equação diferencial para expressar a temperatura de saída T s . Para isto, vamos separar as diferenciais. Logo,

d T d x = h x ⋅ T - T ∞ ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p

d T T - T ∞ = h x d x ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p

Integrando a equação acima do ponto inicial ( x = 0   e T = T s ) até o ponto final ( x = L   e T = T i ) , temos:

∫ T s T i d T T - T ∞ = ∫ 0 L h x d x ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p

∫ T s T i d T T - T ∞ = 1 ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p ∫ 0 L h x d x

Multiplicando o segundo membro por L / L , temos

ln ⁡ T - T ∞ T s T i   = L ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p 1 L ⋅ ∫ 0 L h x d x

Fizemos isto para que o segundo membro seja exatamente o coeficiente médio de transferência de calor. Então, temos:

ln ⁡ T i - T ∞ T s - T ∞   = L ⋅ h - L ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p

ln ⁡ T s - T ∞ T i - T ∞   = - L ⋅ h - L ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p

T s - T ∞ T i - T ∞ = e - L ⋅ h - L ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p

E assim terminamos de resolver nossa equação diferencial.

Passo 4

Agora precisamos resolver a equação obtida no final do Passo 3 para o caso particular dado. Dentre todos os coeficientes, aquele que nos falta calcular é o coeficiente de transferência de calor.

Então, vamos calcula-lo agora, começando pelas propriedades do ar e do alumínio. Vamos supor que a temperatura de saída é aproximadamente 150 °C. Com isto, a temperatura média do alumínio é aproximadamente 225 °C (usaremos este dado para pegar os valores do alumínio na tabela).

Já em relação ao ar, o qual está a 1 atm, vamos considerar as temperaturas de 20 °C e a temperatura da superfície média de 225 °C. Com isto, T f ≈ 123   ° C . Por conveniência, usaremos T f = 127   ° C .

Agora, indo na tabela A . 1 , pegamos os seguintes valores do alumínio: k = 186   W / m ⋅ K , c = 2770   J / k g ⋅ K , ρ = 983   k g / m 3 . Já para o ar, utilizando a tabela A . 4 , temos: ν = 26,4 ⋅ 10 - 6   m 2 / s , P r = 0,690 , k = 33,8 ⋅ 10 - 3   W / m ⋅ K .

Então, com estes valores, vamos calcular o coeficiente médio de transferência de calor.

h - L ⋅ L k = N u - L = 0,037 ⋅ R e L 4 / 5 ⋅ P r 1 / 3

h - L = k L ⋅ 0,037 ⋅ R e L 4 / 5 ⋅ P r 1 / 3

Calculando o número de Reynolds, temos:

R e L = u ∞ L ν = 20 ⋅ 5 26,4 ⋅ 10 - 6 = 3,79 ⋅ 10 6

Portanto, o coeficiente de transferência de calor médio é:

h - L = 33,8 ⋅ 10 - 3 5 ⋅ 0,037 ⋅ 3,79 ⋅ 10 6 4 5 ⋅ 0707 1 3 = 40,5   W / m 2 ⋅ K

Passo 5

Para finalizarmos a questão, só substituir os valores na equação da temperatura obtida no Passo 3, e obter a temperatura T s . Então, temos:

T s - T ∞ T i - T ∞ = e - L ⋅ h - L ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p

T s - 20 300 - 20 = e - 5 ⋅ 40,5 2770 ⋅ 0,1 ⋅ 0,002 ⋅ 983

T s = 213 ° C

OBS: este valor foi um pouco diferente dos 150 °C que supomos no decorrer da questão. Entretanto, não precisamos repetir a questão com este valor de entrada. Não precisamos fazer isto pois, as variações das propriedades do alumínio e do ar será pouca!

Resposta

d T d x = h x ⋅ T - T ∞ ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p

T s - T ∞ T i - T ∞ = e - L ⋅ h - L ρ ⋅ V ⋅ δ ⋅ c p

T s = 213 ° C

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