Enunciado

Uma série de chips eletrônicos é montada no interior de um recipiente retangular fechado e o resfriamento é implementado pela fixação de um dissipador de calor de alumínio k = 180   W / m ⋅ K . A base de um dissipador tem dimensões de w 1 = w 2 = 100   m m , enquanto as 6 aletas têm espessura t = 10   m m e passo S = 18   m m . O comprimento das aletas é de L a = 50   m m e a base do dissipador de calor tem uma espessura de L b = 10   m m .

Se o resfriamento é promovido pelo escoamento de água através do dissipador de calor com u ∞ = 3   m / s e T ∞ = 17   ° C , qual é a temperatura da base do dissipador T b quando a potência dissipada pelos chips for de P e l e = 1800   W ? O coeficiente convectivo médio nas superfícies das aletas e na base exposta pode ser determinado supondo escoamento paralelo sobre uma placa plana. As propriedades da água podem ser aproximadas por k = 0,62   W / m ⋅ K , ρ = 995   k g / m 3 , c p = 4178   J / k g ⋅ K , ν = 7,73 ⋅ 10 - 7 m 2 / s e P r = 5,2 .

Passo 1

Eita! Temos um problema que envolve dissipação de calor com aletas!! Chega já começa a assustar!

Mas calma, vamos com calma que iremos conseguir resolver ela tranquilamente. Calma é a resposta para o sucesso!

Vamos entender o que acontece com o problema. Temos chips que estão gerando calor P e l e = 1800   W , o qual está sendo dissipado pelas aletas. O objetivo desta questão será determinar a temperatura da base de alumínio. Mas, para isto, precisamos determinar alguns pontos.

Como ocorre essa dissipação? Vamos tentar associar as fontes por resistências térmicas e utilizar a metodologia estudada lá na parte de condução unidimensional.

Bom, então, ele será dissipado pelas aletas por convecção. Em termos de resistência térmica, temos a seguinte relação:

R t , o = 1 η o h - A t = 1 1 - N A a A t 1 - η a h - A t

Eita. São tantos termos que assusta ainda mais. Não se assustem, vamos discutir um pouco mais sobre eles a frente. Então, continuando, já sabemos que o calor será dissipado pelas aletas. Mas como eles chegaram as aletas? Isto ocorrerá por condução da base. Em termos de

resistência, temos:

R b a s e = L b k A b = 0,01 180 ⋅ 0,1 2 = 5,56 ⋅ 10 - 3   K / W

Portanto, podemos escrever a seguinte equação para a taxa de transferência de calor:

q = P e l e = T b a s e - T ∞ R b a s e + R t , o

E esta é a relação que devemos utilizar para determinar a temperatura da base.

Passo 2

Vamos destrinchar agora a relação das aletas. Relembrando, temos a seguinte equação para a sua resistência térmica:

R t , o = 1 1 - N A a A t 1 - η a h - A t

Agora, vamos entender cada um dos termos. A constante N corresponde ao número de aletas. Portanto, N = 6 . A constante A a é a área superficial das aletas em contato com o ar. Portanto, ele será expresso por:

A a = 2 A l a t e r a l + A s u p e r i o r

A a = 2 w 2 L a + w 2 t

A a = 2 ⋅ 0,1 ⋅ 0,05 + 0,1 ⋅ 0,01 = 0,011   m 2

E quem é a constante A t ? É a soma da área superficial de todas as aletas com a área da base em contato com o ar. Portanto,

A t = N A a + A b a s e

A t = N A a + N - 1 S - t w 2

A t = 6 ⋅ 0,011 + 5 ⋅ 0,008 ⋅ 0,1 = 0,07   m 2

E o termo η a ? Ela é a eficiência da aleta. Considerando que temos uma aleta plana retangular, a relação correta é η a = tanh ⁡ m L c m L c . Mas, para calcularmos, vamos precisar do coeficiente de transferência de calor h - (e também é uma das constantes da fórmula de resistência térmica).

Como a questão já nos disse para assumir escoamento laminar na superfície das aletas, não precisamos nos preocupar com qual a relação devemos obter para o número de Nusselt (e consequentemente, para o coeficiente). Então, a relação que devemos utilizar é:

h - ⋅ w 2 k á g u a = N u - w 2 = 0,664 ⋅ R e w 2 1 / 2 ⋅ P r 1 / 3

h - = k á g u a w 2 ⋅ 0,664 ⋅ R e w 2 1 / 2 ⋅ P r 1 / 3

Calculando o número de Reynolds, temos:

R e w 2 = u ∞ w 2 ν = 3 ⋅ 0,1 7,73 ⋅ 10 - 7 = 3,88 ⋅ 10 5

Portanto, o coeficiente de transferência de calor será:

h - = 0,62 0,1 ⋅ 0,664 ⋅ 3,88 ⋅ 10 5 1 / 2 ⋅ 5,2 1 3 = 4443   W / m 2 ⋅ K

Pronto! Agora, realmente só falta a eficiência η o . Calculando o coeficiente m , temos:

m = 2 h - k a l u m i n i o t 1 / 2 = 2 ⋅ 4443 180 ⋅ 0,01 1 / 2 = 70,26   m - 1

E o comprimento característico L c = L a + t 2 = 0,055   m . Portanto,

η o = tanh ⁡ 70,26 ⋅ 0,055 70,26 ⋅ 0,055 = tanh ⁡ 3,864 3,864 = 0,2586

Então, a resistência térmica será:

R t , o = 1 1 - 6 ⋅ 0,011 0,07 1 - 0,2586 ⋅ 4443 ⋅ 0,07 = 10,68 ⋅ 10 - 3   K / W

Muito trabalho né? Percebam que não são contas “muito difíceis”. O que confunde é a quantidade de relações que devemos utilizar.

Passo 3

Agora já temos todas as informações necessárias para obter a temperatura da base. Lembrando da relação e reorganizando, temos:

q = P e l e = T b a s e - T ∞ R b a s e + R t , o

T b a s e = T ∞ + R b a s e + R t , o P e l e

Então,

T b a s e = 17 + 10,68 ⋅ 10 - 3 + 5,56 ⋅ 10 - 3 ⋅ 1800

T b a s e = 46,2   ° C

E esta é a resposta da questão.

Resposta

T b a s e = 46,2   ° C

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