Enunciado

66 – Na produção submarina de petróleo e gás natural, o petróleo líquido deixa o poço com temperatura de 70   ℃ e escoa no meio circundante submarino com temperatura de 5   ℃ . Como resultado da diferença de temperatura entre o poço e o meio circundante submarino, o conhecimento de transferência de calor é fundamental para impedir o bloqueio provocado pela deposição de hidrato de gás e de cera. Considere um oleoduto submarino com diâmetro interno de 0,5   m , espessura da parede de 8   m m usado para o transporte de petróleo líquido a uma temperatura média de 70   ℃ , e o coeficiente médio de transferência de calor por convecção na superfície interna do oleoduto estimado em 250 W m 2   ⋅ K . O ambiente circundante submarino tem temperatura de 5   ℃ , e o coeficiente médio de transferência de calor por convecção na superfície externa do oleoduto é estimado em 150 W m 2 ⋅ K . Considerando que o oleoduto é construído de material com condutividade térmica de 60 W m ⋅ K , utilize a equação de condução de calor para (a) obter a variação de temperatura na parede do oleoduto, (b) determinar a temperatura da superfície interna do oleoduto, (c) Obter a expressão matemática para taxa de perda de calor do petróleo líquido no oleoduto (d) determinar o fluxo de calor através da superfície externa do oleoduto.

Passo 1

a)

Escreva a equação de condução de calor unidimensional de estado estacionário sem geração interna de calor em coordenadas cilíndricas.

d d r r d T d r = 0

Integre a equação em relação a r .

∫ 0 r d T d r r d T d r = 0

r d T d r = C 1 … … . .   ( 1 )

d T d r = C 1 r

Aqui  C 1 é a constante arbitrária.

Integre a equação (1) em relação a  r

T r = C 1 ln ⁡ r + C 2 … … … ( 2 )

Aqui, a constante arbitrária é  C 2 , e o raio do tubo é  r , e  d T d r é o gradiente de temperatura em relação ao raio do tubo.

Resolva os valores constantes aplicando condições de contorno.

Aplique a primeira condição de contorno e substitua no raio,  r = r 1 e a temperatura  T r = T r 1 na equação (2).

T r = C 1 ln ⁡ r + C 2

T r 1 = C 1 ln ⁡ r ! + C 2

Aplique a segunda condição de contorno e substitua no raio,  r = r 2   a temperatura está  T r = T r 2   na equação (2).

T r = C 1 ln ⁡ r + C 2

T r 2 = C 1 ln ⁡ r 2 + C 2

Passo 2

Como a transferência de calor por condução é igual à transferência de calor por convecção.

- k d T d r = h T ∞ - T r

Aqui, a condutividade térmica é  k  , o coeficiente de transferência de calor é  h  , a temperatura da água  T ∞   e a temperatura do tubo no raio considerado  T r .

Aplique a condição de contorno  r = r 1 na equação (3).

- k d T r 1 d r = h T ∞ 1 - T r 1

- k C 1 r 1 = h 1 T ∞ 1 - T r 1 … … … ( 4 )

(4) No interior do tubo.

Passo 3

Aplique a condição de contorno  r = r 2 na equação (3).

- k d T r 2 d r = h T r 2 - T ∞ 2

- k C 1 r 2 = h 2 T r 2 - T ∞ 2 … … … ( 5 )

(5) Na parte externa do tubo.

Substitua   T r 1 por  C 1 ln ⁡ r 1 + C 2 na equação (4).

- k C 1 r 1 h 1 = T ∞ 1 - C 1 ln ⁡ r 1 - C 2 … … … ( 6 )

Substitua   T r 2 por  C 1 ln ⁡ r 2 + C 2 na equação (5).

- k C 1 r 2 = h 2 C 1 ln ⁡ r 2 + C 2 - T ∞ 2 … … … ( 7 )

Passo 4

Vamos achar o valor da constante C 1 , juntando as equações (6) e (7).

- k C 1 r 2 - k C 1 r 1 h 1 = T ∞ 1 - C 1 ln ⁡ r 1 - C 2 + h 2 C 1 ln ⁡ r 2 + C 2 - T ∞ 2

- k C 1 r 2 h 2 - k C 1 r 1 h 1 - C 1 ln ⁡ r 2 r 1 = ( T ∞ 1 - T ∞ 2 )

C 1 = - ( T ∞ 1 - T ∞ 2 ) k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1

Substitua agora, esse valor na equação (6).

- k C 1 r 1 h 1 = T ∞ 1 - C 1 ln ⁡ r 1 - C 2

C 2 = T ∞ 1 - C 1 ln ⁡ r 1 + k C 1 r 1 h 1

C 2 = T ∞ 1 - C 1 ln ⁡ r 1 - k r 1 h 1

C 2 = T ∞ 1 - - T ∞ 1 - T ∞ 2 k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 ln ⁡ r 1 - k r 1 h 1

C 2 = T ∞ 1 - - T ∞ 1 - T ∞ 2 k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 k r 1 h 1 - ln ⁡ r 1

Passo 5

Substitua os valores de  C 1 C 2 na equação (2).

T r = C 1 ln ⁡ r + C 2

T r = - T ∞ 1 - T ∞ 2 k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 ln ⁡ r + T ∞ 1 - T ∞ 1 - T ∞ 2 k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 k r 1 h 1 - ln ⁡ r 1

= - T ∞ 1 - T ∞ 2 k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 ln ⁡ r - ln ⁡ r 1 + k r 1 h 1 + T ∞ 1

T r = - T ∞ 1 - T ∞ 2 k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 ln ⁡ r r 1 + k r 1 h 1 + T ∞ 1 … … … .   ( 8 )

Portanto, a distribuição de temperatura na parede do tubo é

T r = - T ∞ 1 - T ∞ 2 k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 ln ⁡ r r 1 + k r 1 h 1 + T ∞ 1

Passo 6

b)

Calcule a temperatura da superfície interna da tubulação aplicando a condição de contorno  r = r 1   na equação (8).

T r = - T ∞ 1 - T ∞ 2 k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 ln ⁡ r r 1 + k r 1 h 1 + T ∞ 1

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

T r = - 70 - 5 60 0,25 × 250 + 60 0,258 × 150 + ln ⁡ 0,258 0,25 ln ⁡ 0,25 0,25 + 60 0,25 × 250 + 70

= - 65 0,96 + 0,0314 + 1,5503 0,96 + 0 + 70

= 45,5   ℃

Portanto, a temperatura da superfície interna da tubulação é  45,5   ℃

Passo 7

c)

Obtenha a expressão para a taxa de transferência de calor através do gasoduto usando a lei de condução de Fourier.

Q = - k A d T d r

Aqui, a área de superfície externa do tubo é um.

Aplique a condição de limite em r = r 2 .

Substituir  2 π r 2 L por um.

Q = - k 2 π r 2 L d T d r r = r 2

Substitua r 2 d T r 2 d r por C 1 .

Q = - k 2 π L C 1

Substitua C 1 pelo valor obtido no “Passo 4”.

Q = - k 2 π L - T ∞ 1 - T ∞ 2 k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1  

= T ∞ 1 - T ∞ 2 1 2 π r 1 L h 1 + 1 2 π r 2 L h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 k 2 π L

Portanto, a expressão para a taxa de transferência de calor através da tubulação é

Q = T ∞ 1 - T ∞ 2 1 2 π r 1 L h 1 + 1 2 π r 2 L h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 k 2 π L

Passo 8

d)

Obtenha a expressão para fluxo de calor da lei de condução de Fourier.

q 2 = - k d T d r

Aplique a condição de limite  r = r 2

q 2 = - k d T ( r 2 ) d r

A partir da equação (1) substitua d T ( r 2 ) d r para C 1 r 2 .

q 2 = - k C 1 r 2

Substitua C 1 pelo valor obtido no “Passo 4”.

q 2 = k r 2   T ∞ 1 - T ∞ 2 k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1

Substitua pelos valores conhecidos.

q 2 = 60 0,258 70 60 0,25 × 250 + 60 0,258 × 150 + ln ⁡ 0,258 0,25

= 232,55 × 65 0,96 + 0,03149 + 1,55038  

= 5946,704 W m 2

= 5947   W / m 2

Portanto, o fluxo de calor através da superfície externa da tubulação é  5947 W m 2 .

Resposta

  1. Portanto, a distribuição de temperatura na parede do tubo é
  2. T r = - T ∞ 1 - T ∞ 2 k r 1 h 1 + k r 2 h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 ln ⁡ r r 1 + k r 1 h 1 + T ∞ 1

  3. Portanto, a temperatura da superfície interna da tubulação é  45,5   ℃
  4. Portanto, a expressão para a taxa de transferência de calor através da tubulação é
  5. Q = T ∞ 1 - T ∞ 2 1 2 π r 1 L h 1 + 1 2 π r 2 L h 2 + ln ⁡ r 2 r 1 k 2 π L

  6. Portanto, o fluxo de calor através da superfície externa da tubulação é  5947 W m 2 .
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