Enunciado

Ao redor do mundo, mais de um bilhão de bolas de solda devem ser fabricadas diariamente para a montagem de pacotes eletrônicos. O método de spray de gotas uniformes usa um dispositivo piezoelétrico para vibrar um eixo em um recipiente com solda fundida que, por sua vez, ejeta pequenas gotas de solda através de um bocal elaborado com precisão. Ao atravessarem a câmara de coleta, as gotas se resfriam e solidificam. Na câmara de coleta há um gás inerte, como o nitrogênio, para evitar a oxidação das superfícies das bolas de solda.

(a) Gotas de solda fundida de diâmetro 130   μ m são ejetadas a uma velocidade de 2   m / s a uma temperatura inicial de 225 ° C em nitrogênio gasoso que se encontra a 30 ° C e a uma pressão um pouco acima da atmosférica. Determine a velocidade terminal das partículas e a distância percorrida por elas até que elas se tornem completamente solidificadas. As propriedades da solda são ρ   =   8230   k g / m 3   ,   c p   =   240   J / ( k g   ·   K ) ,   k   =   38   W / ( m   ·   K ) ,   h s f   =   42   k J / k g . A temperatura de fusão da solda é igual a 183 ° C .

(b) O dispositivo piezoelétrico oscila a 1,8   k H z , produzindo 1800 partículas por segundo. Determine a distância de separação entre as partículas ao atravessarem o nitrogênio gasoso e o volume do recipiente necessário para produzir as bolas de solda continuamente durante uma semana.

Passo 1

Vamos para mais uma questão 😊. Aqui nós temos um método para fabricar esferas de solda de chumbo de pequeno diâmetro ( D   = 130   μ m ) ejetadas no gás nitrogênio a V   =   2   m   /   s . Além disso, nos foi fornecido também a temperatura e pressão de nitrogênio, temperatura inicial das partículas e frequência de oscilação de dispositivos piezoelétricos.

Com essas informações queremos encontrar a velocidade terminal das gotículas, distância percorrida quando uma gota solidifica completamente e a distância de separação entre gotículas e tamanho do pote necessário para produzir bolas de solda continuamente por uma semana.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que a transferência de calor por radiação é desprezível e a resposta térmica de capacitância é concentrada. As propriedades do Nitrogênio foram retiradas da Tabela A.4, onde:

T f ≈ T i + T ∞ 2 = 225 ° C + 30 ° C 2 = 127,5 ° C ≈ 400   K

T s - = 225 ° C + 183 ° C 2 = 205 ° C = 477   K

Na letra (a) queremos calcular a velocidade terminal das partículas e a distância percorrida por elas até que elas se tornem completamente solidificadas. Um equilíbrio de força na partícula produz:

F D = m g = π D p 2 2 C D ρ f V 2 / 2 = 4 3 π D p 2 3 ρ g g

Essa é a força de arraste da partícula que a gente vê láaa em Operações Unitárias 😉.

Passo 3

Na equação acima nós temos o C D que é o coeficiente de arraste, o qual pode ser representado por:

C D = 4 3 D p ( ρ P / ρ f ) g / V 2    

C D = 4 3 × 130 × 10 - 6 m × 8230 0,8425 × 9,8 m s 2 / V 2  

C D = 16,59 m 2 s 2 V 2

E o número de Reynolds é,

R e D = V D p v = V × 130 × 10 - 6 m 26,16 × 10 - 6   m 2 / s

R e D = 4,97 s m × V

As equações de C D e R e D podem ser resolvidas para qualquer valor de V . Uma solução de tentativa e erro produz,

V   =   2,03 m s ,                     C D   =   4,03       e       R e D   =   10,09

Na Figura 7.9, em R e D   =   10 ,   C D   =   4 . Então,

  V   ≈   2   m   /   s

Notamos que a velocidade terminal é idêntica à velocidade da injeção. Portanto, as partículas viajam em velocidade constante e o processo de resfriamento de partículas ocorre em duas etapas.

Passo 4

Etapa 1: Resfriamento de partículas até T f   =   183   °   C .

Com as propriedades do nitrogênio avaliadas em T ∞   =   30   °   C , o número de Reynolds é:

R e D = 2 m / s × 130 × 10 - 6 m 15,86 × 10 - 6   m 2 / s = 16,39

A correlação de Whitaker produz:

N u D - = 2 + 0,4 16,39 + 0,06 × 16,39 2 3 × 0,716 0,4 × 178 248 1 4 = 3,62

Então,

h D - = N u D - k D p = 3,62 × 0,0259 W m . K 130 × 10 - 6 m = 721   W / m 2 . K

Tendo que a área da partícula é:

A s = 4 π D 2 2 = 4 × π × 130 × 10 - 6 m 2 2 = 53,1 × 10 - 9 m 2

E o volume,

V = 4 3 π D 2 3 = 4 3 π 130 × 10 - 6 m 2 3 = 1,15 × 10 - 12 m 3

Então,

T - T ∞ T i - T ∞ = 183 - 30 225 - 30 = 0,785 = exp ⁡ - 721 W m 2 . K × 53,1 × 10 - 9 m 2 8230 k g m 3 × 1,15 × 10 - 12 m 3 × 240 J k g . K × t 1

Do qual,

t 1 = 14,3 × 10 - 3 s

Passo 5

Etapa 2: Solidificação de partículas a T f   =   183   °   C .

Um balanço energético da partícula durante a solidificação produz:

E ˙ s t + E ˙ s a i = 0

Ou,

- V ρ p h s f - h A s T f - T ∞ t 2

Então,

t 2 = 1,15 × 10 - 12 m 3 × 8230 k g m 3 × 42000   J / k g 721 W m 2 . K × 53,1 × 10 - 9 m 2 × 83 - 30 ° C = 67,6 × 10 - 3 s

Portanto, o tempo para solidificar completamente é:

t = t 1 + t 2 = 14,3 × 10 - 3 s + 67,6 × 10 - 3 s

t = 82 × 10 - 3 s

E a distância percorrida é:

  L   =   2 m   /   s   ×   0,082 s   =   0,163   m

Passo 6

Na letra (b) queremos a distância de separação entre as partículas ao atravessarem o nitrogênio gasoso e o volume do recipiente necessário para produzir as bolas de solda continuamente durante uma semana.

A distância que uma partícula percorre é:

L = 2 m / s 1800 s - 1 = 1,11 m m

O tamanho do recipiente necessário para uma semana de operação é:

V r e c i p i e n t e = 1,15 × 10 - 12 m 3 p a r t í c u l a s × 1800 p a r t í c u l a s s × 7 d i a s × 24 h d i a × 3600 s h  

V r e c i p i e n t e = 1,25 × 10 - 3 m 3

Resposta

(a)   V   ≈   2   m   /   s e   L   =     0,163   m

(b) L = 1,11 m m e V r e c i p i e n t e = 1,25 × 10 - 3 m 3

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