Enunciado

Rejeitos radiativos são estocados em recipientes cilíndricos longos e com paredes finas. Os rejeitos geram energia térmica de forma não-uniforme, de acordo com a relação q ˙ = q 0 ˙ [ 1   - ( r / r 0 ) ^ 2   ] onde q ˙ é a taxa local de geração de energia por unidade de volume, q 0 ˙ é uma constante e r 0 é o raio do recipiente. Condições de regime estacionário são mantidas pela submersão do recipiente em um líquido que está a T ∞ fornece um coeficiente de transferência de calor por convecção uniforme e igual a h.

Obtenha uma expressão para a taxa total na qual a energia é gerada por unidade de comprimento do recipiente. Use esse resultado para obter uma expressão para a temperatura T s w p da parede do recipiente.

Passo 1

E ai meus amores nessa questãozinha “Pegue o que puder, sem nada a devolver” okay?

Começaremos escrevendo a relação para a taxa de geração de energia

E g ˙ = ∫ q ˙ d V

Onde q ˙ é a taxa local de geração de energia por unidade de volume e d V e a mudança de volume

Vamos substituir essa formula seguinte por q ˙

q 0 ˙ 1 - r r 0 2

E 2 π L d r por d V .

Passo 2

Fazendo as devidas substituições

E g ˙ = ∫ 0 r 0 q 0 ˙ 1 - r r 0 2 2 π L d r

= q 0 ˙ 2 π L ∫ 0 r 0 q 0 ˙ r - 1 r 0 2 r 3 d r

= 2 π L q 0 ˙ r 2 2 0 r 0 - 1 r 0 2 r 4 4 0 r 0  

= 2 π L q 0 ˙ r 0 2 - 0 2 2 - 1 r 0 2 r 0 4 - 0 4 4

E g ˙ = 2 π L q 0 ˙ r 0 2 2 - r 0 2 4

E g L ˙ = 2 π q 0 ˙ r 0 2 4

E g ' = π q 0 ˙ r 0 2 2

Onde

L é o comprimento unitário do contêiner

E g ' é a taxa de geração de energia por unidade de comprimento

q 0 ˙ é a constante

r 0 é o raio do contêiner

Portanto, a expressão para a taxa total na qual a energia é gerada em uma unidade de comprimento do recipiente é de

E g ' = π q 0 ˙ r 0 2 2

Passo 3

Vamos agora escrever a relação para a taxa de calor por convecção ( E ˙ o u t ' ) por unidade de comprimento

E ˙ o u t = h ( 2 π L r 0 ) ( T s - T ∞ )

E ˙ o u t L = h ( 2 π r 0 ) ( T s - T ∞ )

E ˙ o u t ' = h ( 2 π r 0 ) ( T s - T ∞ )

A taxa na qual a energia é gerada em uma unidade de comprimento do recipiente é balanceada pela taxa de calor por convecção por unidade de comprimento de acordo com o balanço de energia para uma superfície de controle de um recipiente.

E g ' ˙ - E ˙ ' o u t = 0

E g ' ˙ = E ˙ ' o u t

π q 0 ˙ r 0 2 2 = h 2 π r 0 T s - T ∞

T s - T ∞ = π q 0 ˙ r 0 2 2 π r 0 h

T s = T ∞ + π q 0 ˙ r 0 2 2 π r 0 h

Portanto, a expressão para a temperatura T s da parede do recipiente é

T ∞ + π q 0 ˙ r 0 2 2 π r 0 h

Depois dessa questão, “Ninguém se mexe” Meu cérebro caiu.”

Haha bora pra proximaaaa

Resposta

Portanto, a expressão para a taxa total na qual a energia é gerada em uma unidade de comprimento do recipiente é de

E g ' = π q 0 ˙ r 0 2 2

Portanto, a expressão para a temperatura T s da parede do recipiente é

T ∞ + π q 0 ˙ r 0 2 2 π r 0 h

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