Enunciado

Repita o Problema 7-54, exceto que a velocidade do som c de um gás ideal é considerada uma função apenas da pressão P   e da densidade do gás ρ . Mostrando todo o seu trabalho, use a

análise dimensional para encontrar a relação funcional entre esses parâmetros. Certifique-se de que os seus resultados são consistentes com a equação da velocidade do som em um gás

ideal, c = k R g á s T .

Passo 1

Continuando a saga de variações do problema 54 , a gente vai, de novo observar as diferenças!

A lista dos parâmetros relevantes era:

c = f ( k ,   T ,   R g á s ) n = 4

E agora é:

c = f ( P , ρ ) n = 3

Opa, completamente diferente!

Vamos lá achar essa nova relação!

Passo 2

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!

c = { L 1 t - 1 }

P = { m 1 L - 1 t - 2 }

ρ = { m 1 L - 3 }

Passo 3

Como nossos parâmetros são descritos por 3 dimensões básicas ( m ,   L   e   t ) o primeiro chute de j = 3

Substituindo no teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j = 3 - 3 = 0

Opaa, tem alguma coisa errada, como assim nenhum grupo π ?! Vamos reduzir j para j = 2 :

k = n - j = 3 - 2 = 1

Devemos esperar um único grupo π !

Passo 4

Já que vamos considerar j = 2 precisamos encontrar nossos dois parâmetros repetidos!

Relembrando nossos parâmetros:

c = f (   P , ρ )

Aqui não tem mistério, c a gente não pode usar, pois ele é um parâmetro dependente, então sobra P e   ρ !

Passo 5

Agora sim, vamos encontrar o nosso grupo π !

Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

π = 1 = { ( c ) × P a × ( ρ ) b }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π = L 0 t 0 T 0 = { ( L 1 t - 1 ) × m 1   L - 1   t - 2 } a × m 1 L - 3 b }

Agora equacionando:

Comprimento:

L 0 = L 1 × L - a × L - 3 b

0 = 1 - a - 3 b

Tempo:

t 0 = t - 1 × t - 2 a

0 = - 1 - 2 a

a = - 1 / 2

Massa:

m 0 = m a + m b

0 = a + b

b = - a

Logo:

b = 1 2

Substituindo a e b temos:

π = { ( c ) × P - 1 / 2 × ( ρ ) 1 / 2 }

Organizando:

π = c ρ P  

Passo 6

Agora é aquele momento que a gente escreve a relação entre os grupos π , mas aqui a gente só tem um grupo π ! Como ele não vai ser uma função de nada, logo a gente espera que ele seja igual a uma constante!

π = c ρ P =   c o n s t a n t e

Outra forma de escrever, poderia ser:

c = c o n s t a n t e × P ρ  

E se a gente comparar com a a equação da velocidade do som em um gás ideal

c = k R g á s T

Vemos que elas são consistentes entre si, já que k é adimensional!

Resposta

c = c o n s t a n t e × P ρ  

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