Enunciado

No Exemplo 7-7, o sistema de dimensões primárias com base na massa foi usado para estabelecer uma relação para a diferença de pressão Δ P = P i n t e r n a - P e x t e r n a entre o interior e o exterior de uma bolha de sabão de raio R e a tensão superficial σ da película de sabão (Figura). Repita a análise dimensional usando o método das variáveis repetidas, mas utilize o sistema de dimensões primárias com base na força. Mostre todo o seu trabalho. Você obtém o mesmo resultado?

Passo 1

Para resolver esse exercício, vamos pegar todas as informações do enunciado, fazer o passo a passo do método das variáveis repetidas e no final a gente compara com o resultado do exemplo 7-7. Beleza?

Então vamos começar reunindo os parâmetros dimensionais que descrevem o problema, que nesse caso é o raio, R e a tensão superficial, σ s :

Δ P = f ( R , σ s )

Daqui a gente já consegue ver o número de parâmetros, que são Δ P , R e σ s , então:

n = 3

Passo 2

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro, e não se esqueça, aqui a gente quer usar o sistema de dimensões primárias baseada na força!

Então vamos começar pelo Δ P :

{ Δ P } = { F o r ç a } { Á r e a }

Escrevendo as dimensões primárias:

Δ P = { F 1 L - 2 }

Agora o raio da bolha:

R = { C o m p r i m e n t o }

R = { L 1 }

E por fim a tensão superficial, σ s :

{ σ s } = F o r ç a C o m p r i m e n t o

{ σ s } = F 1 L - 1

Passo 3

Quando a gente listou as dimensões primárias de cada parâmetro a gente usou as dimensões F e L , então podemos considerar:

j = 2

Teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j

O n a gente já tinha achado no Passo 1, lá vimos que n = 3 !

Substituindo:

k = 3 - 2 = 1

Nesse caso o número de grupos π esperado é igual a 1 . Então vamos atrás dele!!

Passo 4

Antes de começar a precisamos decidir quais vão ser os 2   parâmetros repetidos.

Temos Δ P ,   R e σ s , como Δ P é o parâmetro dependente a nossa única opção é escolher R e σ s como parâmetros repetidos.

Passo 5

Agora sim, vamos encontrar o nosso grupo π !!

Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

π 1 = F 0 L 0 = { Δ P × R a × σ s b }

Eles tem que ter dimensão zero, como a gente ta vendo no lado esquerdo da igualdade! Agora vamos substituir esses parâmetros pelas suas respectivas dimensões primárias, que a gente listou lá no Passo2:

π 1 = F 0 L 0 = { F 1 L - 2 × L 1 a × F 1 L - 1 b }

Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando pela força:

Força:

F 0 = F 1 ( F 1 b }

0 = 1 + b  

b = - 1

Comprimento:

L 0 = { L - 2 L 1 a L - 1 b }

0 = - 2 + a - b

a = 2 - 1

a = 1

Agora que a gente conhece os expoentes, vamos substituir:

π 1 = F 0 L 0 = { Δ P × R 1 × σ s - 1 }

Organizando:

π 1 = Δ P × R σ s

Passo 6

Agora vamos verificar se o grupo π que a gente encontrou é realmente adimensional:

π 1 = Δ P × R σ s

Substituindo as dimensões:

π 1 = F 1 L - 2 × L 1 F 1 L - 1

Deu pra cortar tudinho! Então π 1 é adimensional!!!

Passo 7

Agora é hora de comparar os resultados, primeiro o que a gente achou:

π 1 = Δ P × R σ s

Agora do exemplo:

π 1 = Δ P R σ s

Igualzinho!! É justamente o que deveriamos encontrar, porque independete do sistema de dimensões primárias ser baseado na força ou na massa, eles devem dar o mesmo resultado, são apenas caminhos diferentes!!

Resposta

Sim! O mesmo resultado é encontrado.

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