Enunciado

Repita o Problema 9 - 87 para o caso mais geral. Isto é, o cilindro interno girando a uma velocidade angular ω i e o cilindro externo girando a uma velocidade angular ω o . Tudo o mais permanece o mesmo que o Problema 9 - 87 . Gere uma expressão exata para a componente u o da velocidade, como uma função do raio r e dos outros parâmetros do Problema. Verifique se quando ω o = 0 o seu resultado se simplifica para o do Problema 9 - 87 .

Passo 1

Vamos começar retomando a condição proposta no Problema 9 - 87 :

Temos um líquido com propriedades constantes ( ρ ,   μ ), confinado no espaço entre dois cilindros. O cilindro interno gira com velocidade angular ω i , enquanto o cilindro externo encontrava-se parado.

Para este problema vamos considerar uma condição mais geral, em que o cilindro externo gira com velocidade angular ω o . Tudo bem?

Ao final, devemos chegar em um perfil de velocidade que sirva para quaisquer velocidades angulares ω i e ω o , inclusive para o caso do Problema 9 - 87 em que ω o = 0 . Vamos lá?

Passo 2

Como primeiro passo, vamos desenhar nosso eixo de coordenadas:

Nosso próximo passo para obter o perfil será aplicar a equação da continuidade para coordenadas cilíndricas:

∂ ρ ∂ t + 1 r ∂ ∂ r r ρ u r + 1 r ∂ ∂ θ ρ u θ + ∂ ∂ z ρ u z = 0

Assumindo que estamos em regime estacionário e que as componentes de velocidade nas direções r e z são nulas:

∂ ρ ∂ t = 0 ;

u r = 0 → 1 r ∂ ∂ r r ρ u r = 0 ;

u z = 0 → ∂ ∂ z ρ u z = 0

Então, nossa equação se reduz à:

1 r ∂ ∂ θ ρ u θ = 0

∂ ∂ θ ρ u θ = 0

ρ ∂ ∂ θ u θ = 0

∂ ∂ θ u θ = 0

Ou seja, pela equação da continuidade concluímos que a velocidade u θ não depende da componente θ . O que é equivalente a dizer:

u θ = u θ r

Tudo bem até aqui?

Nosso próximo passo será aplicar a equação de Navier-Stokes. Vamos lá?

Passo 3

Como o fluido está “escoando” apenas na direção θ , vamos aplicar a equação de Navier-Stokes para esta componente:

ρ ∂ u θ ∂ t + u r ∂ u θ ∂ r + u θ r ∂ u θ ∂ θ + u r u θ r + u z ∂ u θ ∂ z = - 1 r ∂ P ∂ θ + ρ g θ + μ ∂ ∂ r 1 r ∂ ∂ r r u θ + 1 r 2 ∂ 2 u θ ∂ θ 2 + 2 r 2 ∂ u r ∂ θ + ∂ 2 u θ ∂ z 2

Vamos analisar os termos do lado esquerdo da equação. Consideramos que o sistema está em regime estacionário, além de que u r = 0 e u z = 0 . Também vimos pela equação da continuidade que ∂ u θ ∂ θ = 0 . Então, o lado esquerdo da equação fica:

ρ 0 + 0 × ∂ u θ ∂ r + u θ r × 0 + 0 × u θ r + 0 × ∂ u θ ∂ z = 0

Vamos olhar agora os termos do lado direito. O fluido está escoando apenas devido à movimentação dos cilindros, sem a ação de gradiente de pressão ou da força gravitacional. Então:

∂ P ∂ θ = 0 ;

ρ g θ = 0

Como só temos velocidade na direção θ :

∂ u r ∂ θ = 0

Além disso, pela equação da continuidade vimos que u θ = u θ r , portanto

∂ 2 u θ ∂ θ 2 = 0 ;

∂ 2 u θ ∂ z 2 = 0

E a equação de Navier-Stokes é reduzida à:

0 = μ ∂ ∂ r 1 r ∂ ∂ r r u θ

0 = ∂ ∂ r 1 r ∂ ∂ r r u θ

Passo 4

Como a derivada em relação à zero, podemos dizer que

1 r ∂ ∂ r r u θ = C 1

Em que C 1 é uma constante. Continuando:

∂ ∂ r r u θ = C 1 r

∂ r u θ = C 1 r ∂ r

Integrando os dois lados da equação:

∫ ∂ r u θ = ∫ C 1 r ∂ r

r u θ = C 1 r 2 2 + C 2

Para encontrar as constantes, vamos agora aplicar as condições de contorno. As condições de contorno são as seguintes:

u θ r = r i = ω i r i

u θ r = r e = ω o r e

Então, substituindo no perfil:

r i ω i r i = C 1 r i 2 2 + C 2

r e ω o r e = C 1 r e 2 2 + C 2

C 2 = ω i r i 2 - C 1 r i 2 2 = ω o r e 2 - C 1 r e 2 2

ω i r i 2 - C 1 r i 2 2 = ω o r e 2 - C 1 r e 2 2

C 1 r e 2 2 - C 1 r i 2 2 = ω o r e 2 - ω i r i 2

C 1 r e 2 - r i 2 2 = ω o r e 2 - ω i r i 2

C 1 = 2 r e 2 - r i 2 × ω o r e 2 - ω i r i 2

E

C 2 = ω i r i 2 - C 1 r i 2 2 = ω i r i 2 - 2 r e 2 - r i 2 × ω o r e 2 - ω i r i 2 × r i 2 2

C 2 = r i 2 ω i - ω o r e 2 - ω i r i 2 r e 2 - r i 2

Substituindo as constantes no perfil teremos:

r u θ = 2 r e 2 - r i 2 × ω o r e 2 - ω i r i 2 × r 2 2 + r i 2 ω i - ω o r e 2 - ω i r i 2 r e 2 - r i 2

u θ = r r e 2 - r i 2 × ω o r e 2 - ω i r i 2 + r i 2 r × ω i - ω o r e 2 - ω i r i 2 r e 2 - r i 2

Passo 5

Por fim, vamos ver se chegamos no mesmo resultado do Problema 9 - 87 , em que ω o = 0 .

Se aplicarmos ω o = 0 no perfil de velocidades ficamos com:

u θ = r r e 2 - r i 2 × - ω i r i 2 + r i 2 r × ω i - - ω i r i 2 r e 2 - r i 2

Se fizermos u θ ( r = r e ) :

u θ ( r = r e ) = r e r e 2 - r i 2 × - ω i r i 2 + r i 2 r e × ω i - - ω i r i 2 r e 2 - r i 2

u θ r = r e = r e 2 r e r e 2 - r i 2 × - ω i r i 2 + r i 2 r e × ω i - r i 2 r e × - ω i r i 2 r e 2 - r i 2

u θ r = r e = r e 2 - r i 2 r e r e 2 - r i 2 × - ω i r i 2 + r i 2 r e × ω i

u θ r = r e = - ω i r i 2 r e + ω i r i 2 r e = 0

O perfil atendeu à primeira condição de contorno ( u θ r = r e = 0 ). Vamos agora verificar se u θ r = r i = ω i r i :

u θ r = r i = r i r e 2 - r i 2 × - ω i r i 2 + r i 2 r i × ω i - - ω i r i 2 r e 2 - r i 2

u θ r = r i = r i r e 2 - r i 2 × - ω i r i 2 + r i × ω i - - ω i r i 2 r e 2 - r i 2

u θ r = r i = r i r e 2 - r i 2 × - ω i r i 2 - - ω i r i 2 + r i × ω i

u θ r = r i = r i × ω i

Mostramos então, que o nosso perfil geral é equivalente ao obtido no Problema 9 - 87 .

Resposta

O perfil de velocidades para o caso geral é:

u θ = r r e 2 - r i 2 × ω o r e 2 - ω i r i 2 + r i 2 r × ω i - ω o r e 2 - ω i r i 2 r e 2 - r i 2

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