Enunciado

Um reservatório fornece água por 100 m de tubo de ferro fundido de 30 cm de diâmetro para uma turbina que extrai 80 hp do escoamento. Em seguida, a água descarrega na atmosfera. Despreze as perdas localizadas.

  1. Admitindo que f ≈ 0,019 , determine a vazão volumétrica (resultante de uma expressão polinomial cúbica). Explique por que existem duas soluções legítimas.
  2. Para um crédito extra, determine as vazões usando os fatores de atritos reais.

Passo 1

E lá vamos nóssssss! Bora lá pegar mais uma juntos!

Comecemos a nossa batalha! Primeiramente, vamos utilizar a equação de energia nisso aqui, bora lá:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h t u r b i n a + h f

Considerando um fluido incompressível, escoamento permanente e que D 1 ≫ D 2 → V 1 ≈ 0 , teremos:

z 1 - z 2 = V 2 2 2 g + h t u r b i n a + h f

z 1 - z 2 = W ρ g Q + 1 + f L D V 2 2 2 g ,   e m   q u e   Q = π 4 D 2 V 2

Assim,

z 1 - z 2 = W ρ g π 4 D 2 V 2 + 1 + f L D V 2 2 2 g

Tendo que, ρ = 998   k g / m 3 e que μ = 0,001 k g m ⋅ s , temos:

35 - 5 m = 80   h p 745,7 W h p 998 k g m 3 9,81 m s 2 π 4 0,3   m 2 V 2 + 1 + 0,019 100   m 0,3   m V 2 2 2 9,81 m s 2

Chegaremos em,

30 = 86,2 V + 0,373 V 2 → V 3 - 80,3 V + 231 = 0

Passo 2

Chegamos na tão desejada equação cúbica, teremos então três raízes, sendo elas:

V = 3,34 m s ;     6,81 m s ;   - 10,15 m s

Galera, não temos velocidade negativa né?! Logo, apenas as duas positivas nos fazem sentido, ou seja, duas soluções legítimas. Assim,

Q = V A = 3,34 m s π 4 0,3 m 2 = 0,236   m 3 / s

Q = V A = 6,81 m s π 4 0,3 m 2 = 0,481   m 3 / s

As duas são válidas!

Passo 3

Para (b), vamos achar os fatores de atrito reais, assim:

R e = ρ V L μ = 998 k g m 3 3,34 m s 100   m 0,001 k g m ⋅ s = 3,3 × 10 8

R e = ρ V L μ = 998 k g m 3 6,81 m s 100   m 0,001 k g m ⋅ s = 6,7 × 10 8

Com a rugosidade relativa sendo, ϵ D = 1,25 × 10 - 4 , pelo Diagrama de Moody, encontraremos que:

f = 0,01251

f = 0,01250

Utilizando esses fatores de atrito e utilizando na nossa equação de energia, da mesma forma como foi feita para a questão (a), chegaremos que:

Q = 0,30 m 3 s

Q = 0,61 m 3 s

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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