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Sendo v x = x 2 + z 2 + 5 ; v y = y 2 + z 2 , determinar a forma mais simples da componente v z que satisfaça a equação da continuidade para um fluido incompressível.

Passo 1

Para que um fluido seja incompressível ele precisa respeitar a relação:

d i v   v → = 0

O divergente é dado por:

d i v   v → = ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z = 0

Vamos usar isso para encontrar a derivada parcial de ∂ v z ∂ z

∂ x 2 + z 2 + 5 ∂ x + ∂ y 2 + z 2 ∂ y + ∂ v z ∂ z = 0

2 x + 2 y + ∂ v z ∂ z = 0

∂ v z ∂ z = - 2 ( x + y )

Agora, é só integrar:

∂ v z = - 2 x + y ∂ z

v z = ∫ - 2 x + y ∂ z

v z = - 2 x + y z + K

A questão pede a forma mais simples. Então, vamos ignorar a constante

v z = - 2 x + y z

Resposta

v z = - 2 x + y z

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