Enunciado

Um sensor com comprimento total L = 200 mm e diâmetro D = 12,5 mm está inserido através da parede de um duto de tal forma que uma fração do seu comprimento, identificada pelo comprimento de imersão Li, fica em contato com a corrente de água, cuja temperatura, T ∞ , i , deve ser determinada. Os coeficientes convectivos na fração imersa e na fração exposta ao ar

ambiente são h i   =   1100 W m 2 K e h e   =   10 W m 2 K , respectivamente. O sensor possui uma condutividade térmica de 177 W m K e o seu contato térmico com a parede do duto é ruim.

  1. Deduza uma expressão para avaliar o erro da medida, Δ T e r r   =   T e x t   – T ∞ , i , que é a diferença entre a temperatura da extremidade do sensor, T e x t , e a temperatura da água, T ∞ , i . Sugestão: Defina um sistema de coordenadas com a origem na parede do duto e trate o sensor como duas aletas que se estendem para dentro e para fora do duto, mas que possuem a mesma temperatura na base. Use os resultados para o Caso A na Tabela 3.4.
  2. Com as temperaturas da água e do ambiente a 80 e 20°C, respectivamente, calcule o erro da medida, Δ T e r r , em função do comprimento de imersão do sensor para as condições Li/L = 0,225; 0,425 e 0,625.
  3. Calcule e represente graficamente os efeitos da condutividade térmica do sensor e da fator convectivo da água (hi) no erro de medida.

Passo 1

Boom galerinhaa, vamos seguir??

Como a temperatura vai aumentando do ar ambiente até alcançar a temperatura da água nós teremos uma distribuição não linear, partindo de L 0 , ponto inicial, até L 1 , ponto final.

Nós vamos assumimos aqui dois valores de x, o x 0 que vai do ponto inicial L 0 até x = 0 , onde está a parede, ok? Se reescrevermos isso 0 ≤ x 0 ≤ L - L i , mesma coisa certo?

Agora o x i está localizada da parede até a água quente, ou melhor, 0 ≤ x i ≤ L i .

Na letra (a) nós precisamos achar Δ T e r r   =   T e x t   – T ∞ , i só que para isso nos foi sugerido usar o Caso A da Tabela 3.4:

Então nós teremos:

θ θ b = cosh ⁡ m ( L - x ) + h m k sinh ⁡ ( L - x ) cosh ⁡ m L + h m k sinh ⁡ m L

Se olharmos esta fórmula na região i, 0 ≤ x i ≤ L i com a temperatura indo T 0 ≤ T i ≤ T L i = T ∞ , 1 :

θ θ b = T i x i - T ∞ , 1 T 0 - T ∞ , 1 = cosh ⁡ m i ( L i - x i ) + h i m i k sinh ⁡ ( L i - x i ) cosh ⁡ m i L i + h i m i k sinh ⁡ m i L i

Quando T i x i = T e x t nós teremos que x i = L i :

T e x t - T ∞ , 1 T 0 - T ∞ , 1 = cosh ⁡ m i ( L i - L i ) + h i m i k sinh ⁡ ( L i - L i ) cosh ⁡ m i L i + h i m i k sinh ⁡ m i L i

T e x t - T ∞ , 1 T 0 - T ∞ , 1 = 1 cosh ⁡ m i L i + h i m i k sinh ⁡ m i L i

T e x t - T ∞ , 1 = T 0 - T ∞ , 1 cosh ⁡ m i L i + h i m i k sinh ⁡ m i L i

Sendo assim:

Δ T e r r = T 0 - T ∞ , 1 cosh ⁡ m i L i + h i m i k sinh ⁡ m i L i

Podemos chamar:

A = 1 cosh ⁡ m i L i + h i m i k sinh ⁡ m i L i

E chegamos ao fim da letra (a) !!

Passo 2

Sabendo que:

T ∞ , i = 80  

T ∞ , 0 = 20 ° C

Nós queremos calcular aqui T 0 e o erro associado a Δ T e r r , ok?

Para calcular T 0 nós precisamos lembrar que a taxa de transferência de calor através da aleta é igual para as duas partes, como a temperatura da parte i é maior o fluxo de calor está deixando ela e indo em direção à parte o:

q a ,   o = - q a ,   i

Usando ainda o Caso A da Tabela para transferência de calor nas aletas:

M 0 sinh ⁡ m o L 0 + h 0 m 0 k cosh ⁡ ( m 0 L 0 ) cosh ⁡ m 0 L 0 + h o m 0 k sinh ⁡ m 0 L 0 θ b , 0 = - M i sinh ⁡ m i L i + h i m i k cosh ⁡ ( m i L i ) cosh ⁡ m i L i + h i m i k sinh ⁡ m i L i θ b , i

Chamando:

B = sinh ⁡ m o L 0 + h 0 m 0 k cosh ⁡ ( m 0 L 0 ) cosh ⁡ m 0 L 0 + h o m 0 k sinh ⁡ m 0 L 0

C = sinh ⁡ m i L i + h i m i k cosh ⁡ ( m i L i ) cosh ⁡ m i L i + h i m i k sinh ⁡ m i L i

Então:

M 0 B θ b , 0 = - M i C θ b , i

θ b , 0 θ b , i = - M i C M 0 B

Substituindo M pelo que a tabela nos disse:

θ b , 0 θ b , i = - h i P k A c C h 0 P k A c B = - h i h 0 C B

Substituindo θ b , 0 e θ b , i :

T 0 - T ∞ ,   0 T 0 - T ∞ ,   i = - h i h 0 C B

T 0 1 + h i h 0 C B   = T ∞ ,   0 + T ∞ ,   i h i h 0 C B

T 0 = T ∞ ,   0 + T ∞ ,   i h i h 0 C B 1 + h i h 0 C B

Agora vamos prestar atenção aqui !!

Diferentes razões L i L nos dão diferente L i ,   L 0 ,   A ,   B   e   C . Com isso obtemos diferentes T   0 e Δ T e r r .

Agora nós vamos usar nossos dados e colocar em forma de tabela:

Então, a sonda é mais precisa quando mais de seu comprimento é exposto à água, ou seja, maior L i .

Agora que já achamos a letra (b) vamos seguindo, certo?

Passo 3

Na letra (c) nós precisamos calcular e representar graficamente os efeitos da condutividade térmica do sensor e do fator convectivo da água (hi) no erro de medida.

Quando alteramos estes dois fatores nós vamos mudar também os valores de A, B e C. Então nós vamos calcular o erro usando a fórmula que vimos anteriormente e comparar graficamente usando três casos:

i   k = 177   W m K     e     h i = 1100 W m 2 K                                                     ( A z u l )

i i   k = 177   W m K     e     h i = 5 00 W m 2 K                                               ( V e r m e l h o )

i i i   k = 50   W m K     e     h i = 1100 W m 2 K                                                   ( V e r d e )

No gráfico:

Portanto, quanto menor a condutividade térmica e o fator convectivo, menor será o erro! Ao contrário, quando diminuímos o fator convectivo nós aumentamos o erro !!

O que acharam desta?

Resposta

  1. Δ T e r r = T 0 - T ∞ , 1 cosh ⁡ m i L i + h i m i k i sinh ⁡ m i L i ;
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