Enunciado

Uma fita de aço emerge da seção de laminação a quente de uma usina siderúrgica a uma velocidade de 20   m / s e a uma temperatura de 1200 K. Seu comprimento e espessura são L = 100   m e δ = 0,003   m , respectivamente, e a sua densidade e calor específico são 7900   k g / m 3 e 640   J / K ⋅ K , respectivamente.

Levando em consideração a transferência de calor nas superfícies superior e inferior da fita, e desprezando efeitos da radiação e da condução na fita, determine a taxa de variação com o tempo da temperatura da fita a uma distância de 1 m da aresta frontal e na aresta de saída. Determine a distância da aresta frontal onde ocorre a taxa de resfriamento mínima.

Passo 1

Precisamos determinar a taxa de variação da temperatura no tempo sob duas condições distintas e a distância da aresta frontal onde ocorre a taxa de resfriamento mínima. Este segundo ponto vocês vão perceber que é mais simples de calcular, é só saber aonde que ele é.

Agora, a taxa de variação da temperatura no tempo é um pouco mais complicado. Mas também não é nada de outro mundo. Nós vamos precisar fazer um balanço de energia.

E, para isto, vamos partir de elementos diferenciais. Ajuda bastante fazermos um simples esboço, como o esboço abaixo, para ajudar a gente na hora de elaborar os termos. Considerando o volume de controle se movendo com a fita, temos:

Se a gente considera o volume de controle se movendo, não temos nenhuma energia entrando nem sendo gerada. Apenas temos os termos de energia que sai e o termo de energia acumulada. Portanto, temos o seguinte balanço:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g e r a d a = E ˙ a c u m u l a d a

- E ˙ s a i = E ˙ a c u m u l a d a

Passo 2

Agora, quem é o termo que sai e o de energia acumulada? O termo que sai é o 2 d q (cuidado com o 2, pois temos a superfície superior e inferior), e ele é devido a ação da convecção. Então,

E ˙ s a i = 2 d q

E ˙ s a i = 2 h x A s u p e r f í c i e T - T ∞

E ˙ s a i = 2 h x d x W T - T ∞

E o termo de energia acumulada? Ele é dado por:

E ˙ a c u m u l a d a = ρ ⋅ V o l u m e ⋅ c p ⋅ d T d t

E ˙ a c u m u l a d a = ρ δ d x W c p d T d t

Portanto, o nosso balanço de energia é:

- E ˙ s a i = E ˙ a c u m u l a d a

- 2 h x d x W T - T ∞ = ρ δ d x W c p d T d t

d T d t = - 2 h x T - T ∞ ρ δ c p

E esta equação corresponde a taxa de variação da temperatura no tempo!

Passo 3

Agora precisamos utilizar a taxa de variação descoberta no final do Passo 2 para calcularmos dois casos particulares x = 1   m e x = L = 100   m . Mas, antes disto, vamos facilitar nossa vida!

Sempre que possível isto é muito bom! Vamos substituir os valores das constantes do aço. Como a questão já nos deu os valores, não precisamos ir em tabela nenhuma para resolver.

Substituindo os valores, temos:

d T d t = - 2 h x 1200 - 300 7900 ⋅ 0,003 ⋅ 640 = - 0,1187 ⋅ h x

Agora, precisamos do h x para cada caso. Mas, para isto, vamos precisar das propriedades do ar, o qual está em 1 atm e tem temperatura do filme igual a T f = ( T + T ∞ ) / 2 = 750   K . Então, utilizando a tabela A . 4 , temos: ν = 76,37 ⋅ 10 - 6   m 2 / s , P r = 0,702 , k = 54,9 ⋅ 10 - 3   W / m ⋅ K .

De uma forma geral, os dois casos tem o mesmo procedimento. Primeiro calculamos o número de Reynolds e checamos se é laminar ou turbulento. Depois, escolhemos a correlação correta para o número de Nusselt. Por fim, correlacionamos com o coeficiente h x .

Confuso? É não! Vamos ver devagar então! Começando por x = 1 , temos:

R e = u ∞ x ν = 20 ⋅ 1 76,37 ⋅ 10 - 6 = 2,61 ⋅ 10 5

Como R e < 5 ⋅ 10 5 , temos o caso de escoamento laminar. Portanto, a correlação correta para o número de N u s s e l t é:

h x ⋅ x k = N u x = 0,332 ⋅ R e x 1 / 2 ⋅ P r 1 / 3

h x = k x ⋅ 0,332 ⋅ R e x 1 / 2 ⋅ P r 1 / 3

h x = 54,9 ⋅ 10 - 3 1 ⋅ 0,332 ⋅ 2,61 ⋅ 10 5 1 2 ⋅ 0,702 1 3 = 8,27   W / m 2 ⋅ K

Assim, a taxa de variação da temperatura é:

d T d t = - 0,1187 ⋅ h x = - 0,98   K / s

Agora, vamos repetir todo o procedimento para x = 100   m .

R e = u ∞ x ν = 20 ⋅ 100 76,37 ⋅ 10 - 6 = 2,61 ⋅ 10 7

Como R e > 5 ⋅ 10 5 , temos o caso de escoamento turbulento. Portanto, a correlação correta para o número de N u s s e l t é:

h x ⋅ x k = N u x = 0,0296 ⋅ R e x 4 / 5 ⋅ P r 1 / 3

h x = k x ⋅ 0,0296 ⋅ R e x 4 / 5 ⋅ P r 1 / 3

h x = 54,9 ⋅ 10 - 3 100 ⋅ 0,0296 ⋅ 2,61 ⋅ 10 7 4 5 ⋅ 0,702 1 3 = 12,39   W / m 2 ⋅ K

Assim, a taxa de variação da temperatura é:

d T d t = - 0,1187 ⋅ h x = - 1,47   K / s

Passo 4

Para finalizarmos a questão, temos que determinar a distância da aresta frontal onde ocorre a taxa de resfriamento mínima.

E agora? Aonde será que ocorre esta distância mínima? Esta pergunta que é a dificuldade deste cálculo. Se nós soubermos que ele fica logo antes da transição laminar/turbulento (pode imaginar em cima da transição), vamos saber resolver fácil.

Agora que sabemos aonde que é, e também sabemos que na transição temos R e = 5 ⋅ 10 5 , é só descobrir qual o valor de x que satisfaz essa relação. Portanto,

R e = u ∞ x ν = 5 ⋅ 10 5

x = 5 ⋅ 10 5 ⋅ ν u ∞ = 5 ⋅ 10 5 ⋅ 76,37 ⋅ 10 - 6 20 = 1,91   m

E esta é a distância da aresta frontal até o ponto de mínima taxa de resfriamento.

Resposta

Para x = 1   m , temos a seguinte taxa:

d T d t = - 0,1187 ⋅ h x = - 0,98   K / s

Já para x = 100   m , temos:

d T d t = - 0,1187 ⋅ h x = - 1,47   K / s

A distância da aresta frontal até onde ocorre a taxa de resfriamento mínima é:

x = 1,91   m

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