Enunciado

Suponha que uma partícula de poeira radioativa se assemelhe a uma esfera de massa específica 2.400 kg/m3. Quanto tempo, em dias, levará tal partícula para descer de uma altitude de 12 km até o nível do mar se o diâmetro da partícula for (a) 1 μm ou (b) 20 μm?

Passo 1

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Nessa questão, temos uma partícula de poeira radioativa de massa específica ρ = 2400   k g / m ³ . A questão quer que a gente calcule o tempo, em dias, pra partícula descer de uma altitude de 12   k m até o nível do mar para dois diâmetros diferentes.

Pra isso, devemos considerar que, durante a queda, a Força de Arrasto e o peso aparente da partícula serão iguais:

F A = P a p

Se assumirmos nesse primeiro momento um número de Reynolds R e ≤ 1 , podemos usar a Lei de Stokes pra calcular o arrasto numa esfera:

F A = 3 π μ V D

Sendo: V a velocidade de queda, D o diâmetro da esfera e μ = 1,8 × 10 - 8   P a ∙ s a viscosidade do ar.

O peso aparente P a p , por outro lado, será calculado como o peso da esfera desconsiderando o empuxo devido ao ar, usando a equação:

P a p = ρ - ρ a r g π 6 D ³

Sendo ρ a r = 1,2   k g / m ³ a massa específica do ar e g = 9,81   m / s ² a aceleração da gravidade.

Passo 2

Se a gente igualar as F A e P a p , e isolarmos a velocidade de queda V , teremos:

V = ρ - ρ a r g D ² 18 μ ²

V = 2400 k g m 3 - 1,2 k g m 3 ( 9,81 m s 2 ) D ² 18 ( 1,8 × 10 - 5   P a ∙ s ) = 7,26 × 10 7 D ²

A gente tem que lembrar que a velocidade de queda é uma taxa - d z / d t , onde z é a altitude e = t o tempo de queda. Dessa maneira, ficamos com:

d z d t = - 7,26 × 10 7 D ²

Se separarmos essas variáveis e integrarmos a altitude indo de 12000   m a 0 :

∫ 0 12000 d z = 7,26 × 10 7 D ² ∫ 0 t d t

Isolando t , ficamos com:

t = 12000 7,26 × 10 7 D ² = 1,65 × 10 - 4 D ²

Passo 3

Pra resolver a letra (a), vamos considerar D = 1 × 10 - 6   m e substituir na equação que deduzimos no passo anterior:

t = 1,65 × 10 - 4 ( 1 × 10 - 6   m ) ² = 1 , 65 × 10 8   s = 1910   d i a s  

Vamos também calcular o número de Reynolds pra saber se fizemos uma suposição correta:

R e = ρ a r V D μ = 1,2 k g m 3 7,26 × 10 7 1 × 10 - 6 2 1 × 10 - 6   m 1,8 × 10 - 5   P a ∙ s = 4,84 × 10 - 6

Ou seja, supomos corretamente o uso da Lei de Stokes.

Passo 4

Pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (b).

Vamos considerar D = 20 × 10 - 6   m e substituir na equação que deduzimos no Passo 2:

t = 1,65 × 10 - 4 ( 20 × 10 - 6   m ) ² = 4,12 5 × 10 5   s = 4,77   d i a s  

Vamos também calcular o número de Reynolds pra saber se fizemos uma suposição correta:

R e = ρ a r V D μ = 1,2 k g m 3 7,26 × 10 7 20 × 10 - 6 2 20 × 10 - 6   m 1,8 × 10 - 5   P a ∙ s = 3,87 × 10 - 2

Ou seja, supomos corretamente o uso da Lei de Stokes.

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) O tempo que levará para a partícula descer até o nível do mar é t = 1910   d i a s    

(b) O tempo que levará para a partícula descer até o nível do mar é t = 4,77   d i a s    

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