Enunciado

O tanque móvel mostrado deve ser desacelerado pelo abaixamento de uma concha que capta água de um reservatório. A massa e a velocidade iniciais do tanque, com seu conteúdo, são m 0 e u 0 , respectivamente. Despreze forças externas de pressão e de atrito e considere que a pista seja horizontal. Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento para mostrar que, em qualquer instante, u = u 0 m 0 / m . Obtenha uma expressão geral para u / u 0 com uma função do tempo.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = u ) ;
  4. Escoamento uniforme;
  5. Força de corpo desprezível;
  6. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há resistência ne força de campo, então, F S x = F B x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- a r x ⋅ m = u 1 - ρ V A

Sendo:

u 1 = - u .

Temos:

- a r x ⋅ m = u ( ρ u A )

Passo 3

Aplicando as equações da continuidade e da quantidade de movimento para mostrar que, em qualquer instante, u = u 0 m 0 / m .

Temos que a r x = d u d t e ρ u A = d m d t , assim:

- m d u d t =   u d m d t

m d u d t +   u d m d t = 0

u m = c o n s t a n t e

u m = u 0 m 0

u = u 0 m 0 m

Passo 4

Obtendo uma expressão geral para u / u 0 com uma função do tempo.

- m d u d t =   u ( ρ u A )

Sendo m = u 0 m 0 u :

- u 0 m 0 u d u d t = u 2 ρ A

d u d t = - u 3 ρ A u 0 m 0

d u u 3 = - ρ A u 0 m 0 d t

∫ u 0 u d u u 3 = - ρ A u 0 m 0 ∫ 0 t d t

Integrando:

- 1 2 1 u 2 - 1 u 0 2 = - ρ A u 0 m 0 t

1 u 2 - 1 u 0 2 = 2 ρ A t u 0 m 0

Rearranjando:

u 2 = u 0 2 + u 0 m 0 2 ρ A t

u 2 = u 0 2 1 + m 0 2 u 0 ρ A t

u u 0 = 1 + m 0 2 u 0 ρ A t

Resposta

u = u 0 m 0 m

u u 0 = 1 + m 0 2 u 0 ρ A t

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