Enunciado

Uma técnica para destruir tecidos malignos envolve a inserção de uma pequena fonte de calor esférica, de raio r e , no interior do tecido e a manutenção de temperaturas locais acima de um valor crítico T c por um perído prolongado. Pode-se considerar que o tecido se encontra bem afastado da fonte de calor permaneça na temperatura normal do corpo ( T c o r p = 37 ° C ) . Obtenha uma expressão geral para a distribuição de temperaturas radial no tecido, em condições de regime estacionário, no qual há uma dissipação de calor a uma taxa q . Se r e = 0,5   m m , qual a taxa de calor que deve ser fornecida para manter uma temperatura no tecido de T ≥ T c = 42 ° C na região 0,5 ≤ r ≤ 5   m m ? A condutividade térmica do tecido é de aproximadamente 0,5   W / m K . Suponha perfusão desprezível.

Passo 1

Temos uma fonte de calor esférica com uma temperatura de superfície T s . Devemos obter o perfil de temperaturas ao redor e, a taxa de dissipação necessária para manter uma temperatura T c = 42 ° C a uma distância de r = 5   m m do centro da fonte. Vamos lá???

Vamos começar adotando alguns pontos. O processo de transferência de calor ocorre em regime permanente e apenas na direção radial. Então, a taxa de transferência de calor através da fonte é constante. No interior do tecido a transferência de calor se dá apenas por condução. Aplicando a lei de Fourier:

q A = - k d T d r

q 4 π r 2 = - k   d T / d r

- q 4 π k = r 2 d T d r

Como só temos constantes do lado esquerdo:

C 1 = r 2 d T d r

C 1 r 2 d r = d T

Integrando:

∫ C 1 r 2 d r = ∫ d T

- C 1 r + C 2 = T

Passo 2

Para encontrar as constantes C 1 e C 2 vamos aplicar as condições de contorno do sistema. Sabemos que para uma distância r muito grande ( r → ∞ ) a temperatura da fronteira do substrato é T = T c o r p . Então:

- C 1 ∞ + C 2 = T c o r p

C 2 = T c o r p = 37 ° C

A outra condição é que em r = 5   m m a temperatura é T = 42 ° C :

- C 1 5 × 10 - 3 + C 2 = 42

C 1 5 × 10 - 3 = 37 - 42

C 1 = 5 × 10 - 3 - 5 = - 25 × 10 - 3   m K

E o perfil de temperatura fica:

T = - C 1 r + C 2

T = 37 + 25 × 10 - 3 r

Passo 3

Vamos agora determinar a taxa de dissipação de calor que deve ser fornecida para que a temperatura de 42 ° C seja atingida na distância r = 5   m m . Aplicando a lei de Fourier:

q A = - k d T d r

q 4 π r 2 = - k d d r 37 + 25 × 10 - 3 r

q 4 π r 2 = - k - 25 × 10 - 3 r 2

q 4 π = k 25 × 10 - 3

q = 4 π k 25 × 10 - 3 = 0,157   W

Resposta

O perfil de temperatura é

T = 37 + 25 × 10 - 3 r

E a taxa de calor dissipada é q = 0,157   W .

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