Enunciado

Uma casca esférica composta de raio interno r 1 = 0,25   m é construída com uma camada de chumbo de raio externo r 2 = 0,30   m e uma camada de aço inoxidável AISI 302 de raio externo r 3 = 0,31   m . No seu interior há rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa de q ˙ = 5 × 10 5   W / m 3 . É proposto submergir o recipiente em águas oceânicas que estão a uma temperatura de T ∞ = 10 ° C e propiciam um coeficiente convectivo de h = 500   W / m 2 K na superfície externa do recipiente. Há algum problema associado à proposta?

Passo 1

Para esse problema temos um reator esférico de raio interno r 1 = 0,25 m, revestido com uma camada de chumbo de raio r 2 = 0,30   m , condutividade térmica k 1 = 35   W / m K e temperatura de fusão T = 601   K . Temos ainda uma segunda camada de aço de raio r 3 = 0,31   m e condutividade k 2 = 15,1   W / m K e o sistema está imerso em água a T ∞ = 10 ° C e coeficiente de convecção h = 500   W / m 2 K . O problema nos pede para verificar se a proposta é adequada.

Para isso, vamos calcular todas as resistências térmicas envolvidas no sistema e a taxa de calor produzida pelos rejeitos. A partir destes valores, vamos determinar a temperatura interna do reator para verificar se esta temperatura não ultrapassa o ponto de fusão do chumbo. Vamos lá???

Passo 2

O nosso primeiro passo será calcular a taxa de calor produzida pelo reator. Sabemos que a taxa volumétrica de produção de energia é q ˙ = 5 × 10 5   W / m 3 . Então:

q = q ˙ V

q = q ˙ 4 3 π r 1 3

q = 5 × 10 5 × 4 3 π × 0,25 3

q = 3,27 × 10 4   W

Nosso próximo passo será calcular as resistências térmicas envolvidas no sistema. Temos as resistências à condução no chumbo e no aço, além da resistência à convecção. Elas são dadas por:

R c o n d , 1 = 1 r 1 - 1 r 2 4 π k 1

R c o n d , 1 = 1 0,25 - 1 0,3 4 π × 35 = 1,52 × 10 - 3   K / W

R c o n d , 2 = 1 r 2 - 1 r 3 4 π k 2

R c o n d , 2 = 1 0,31 - 1 0,3 4 π × 15,1 = 5,67 × 10 - 4   K / W

R c o n v = 1 h A s

R c o n v = 1 500 × 4 π × 0,31 2 = 1,66 × 10 - 3   K / W

Passo 3

A resistência total é:

R T = R c o n d , 1 + R c o n d , 2 + R c o n v

R T = 1,52 × 10 - 3 + 5,67 × 10 - 4 + 1,66 × 10 - 3 = 3,74 × 10 - 3   K / W

A plicando a equação de taxa de transferência de calor:

q = ∆ T R T

3,27 × 10 4 = T s , 1 - 10 3,74 × 10 - 3

T s , 1 = 10 + 3,27 × 10 4 × 3,74 × 10 - 3 = 132,3 ° C = 405,5   K

Como a temperatura interna da esfera não atinge o ponto de fusão do chumbo, não há problemas relacionados com a proposta.

Resposta

A proposta não apresenta nenhum problema com relação à parte térmica.

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