Enunciado

A temperatura do fluxo de gás deve ser medida por termopar cuja junção pode ser aproximada como sendo esfera de 1,2   m m de diâmetro. As propriedades de junção são k = 35   W / m 2 ⋅ K , ρ = 8.500   k g / m 3 e c p = 320   J / k g ⋅ K , e coeficiente de transferência de calor entre o gás e a junção é h = 110   W / m 2 ⋅ K . Determine o tempo necessário para o termopar ler 99 % da diferença inicial de temperatura.

Passo 1

Dados fornecidos:

Diâmetro da esfera é D = 1,2   m m = 0,0012   m .

Condutividade térmica é k = 35   W / m 2 ⋅ K .

Densidade é ρ = 8.500   k g / m 3 .

Calor específico é c p = 320   J / k g ⋅ K .

Coeficiente de transferência de calor é h = 110   W / m 2 ⋅ K .

Passo 2

Fala galera!!

Aqui nos podemos começar calculando o comprimento característico da esfera para usar no calculo do número de Biot. Assim temos:

L c = V A s

L c = π D 3 / 6 π D 2

L c = D 6

Aqui, a área de superfície de esfera é  A s , o volume da esfera é  V e o diâmetro da esfera é de  D . É bom lembrar que a área da superfície A s não é a área da seção transversal.

Agora é só substituir  0,0012   m por  D .

L c = 0,0012   m   6

L c = 0,0002   m

Passo 3

Com o comprimento característico da esfera, podemos calcular o número Biot da esfera, assim, podemos verificar se podemos usar a analise de sistema aglomerado.

B i = h L c k

Aqui, o coeficiente de transferência de calor por convecção é  h e condutividade térmica é  k . Substituindo pelos dados fornecidos temos:

B i = 110   W / m 2 ⋅ K × 0,0002   m 35   W / m 2 ⋅ K

B i = 0,00063

Como  B i < 0,1 , podemos prosseguir com os cálculos.

Passo 4

Podemos considerar a relação entre as temperaturas, de modo que a leitura da temperatura seja 99 % da diferença inicial.

T t - T ∞ T i - T ∞ = 0,01

Aqui, a temperatura inicial é  T i , a temperatura ambiente é  T ∞ , a temperatura desejada é T t , a diferença inicial de temperatura é  T i - T ∞ , a diferença final de temperatura é  T t - T ∞ .

Podemos determinar o tempo necessário para a esfera atingir a temperatura desejada com a seguinte formula:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - b t

Onde

b = h A s ρ V c p

Substituindo b temos:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - h A s ρ V c p t

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - h ρ c p L c t

Aqui, o tempo necessário é  t , a densidade é  ρ e o calor específico é  c p . Agora, substituímos os dados pelos valores fornecidos e encontrados.

0,01 = e - 110   W / m 2 ⋅ K 8.500   k g / m 3 × 320   J / k g ⋅ K × 0,0002   m t

0,01 = e - 0,2022 t

ln ⁡ 0,01 = ln ⁡ e - 0,2022 t

ln ⁡ 0,01 = - 0,2022 t

t = - ln ⁡ 0,01 0,2022

t = 22,7   s

Portanto, o tempo necessário para medir a temperatura é  22,7   s .

Resposta

t = 22,7   s

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