Enunciado

O clássico escoamento de Poiseuille (Eq. 8.12) mostra a condição de não deslizamento na parede. Se o fluido é um gás, e quando o livre caminho médio l   (distância média que uma molécula viaja antes de colidir com outra molécula) é comparável ao comprimento de escala L do escoamento, então ocorrerá deslizamento na parede, de modo que a vazão e a velocidade serão aumentadas para um dado gradiente de pressão. Na Eq. 8.11, C 1 ainda será zero, C 2 deverá satisfazer a condição de deslizamento u   =   l   ∂ u / ∂ r em r   =   R . Deduza o perfil de velocidade e da vazão do gás em um microtubo ou nanotubo onde há deslizamento na parede. Calcule a vazão para R = 10   m ,   μ = 1,84   ×   10 - 5   N   ·   s / m 2 , l   =   68   n m e - ∂ p / ∂ x = 1,0 × 10 6   P a / m .

Passo 1

Neste problema é pedido o perfil de velocidade e a vazão de um gás escoando em um microtubo. Para a resolução do problemas as seguintes hipóteses serão adotadas:

- escoamento completamente desenvolvido;

- deslizamento de parede (condição de contorno de velocidade em r = R ).

Para escoamento completamente desenvolvido o perfil de velocidade é dado por:

u = r 2 4 μ ∂ p ∂ x + C 1 μ ln ⁡ r + C 2

O enunciado afirma que C 1 = 0 , então:

u = r 2 4 μ ∂ p ∂ x + C 2

Passo 2

Agora será obtida a constante C 2 . Para isso será utilizada a condição de contorno de deslizamento de parede, na qual a velocidade em r = R é dada por:

u = l ∂ u ∂ r

Já conhecendo a função velocidade ( u ), pode-se escrever a velocidade na parede como:

u = l ∂ ∂ r r 2 4 μ ∂ p ∂ x + C 2

Lembrando que ∂ p / ∂ x e C 2 são constantes e que r = R , então:

u ( R ) = l R 2 μ ∂ p ∂ x  

Igualando as funções velocidades conhecidas para r = R :

l R 2 μ ∂ p ∂ x = R 2 4 μ ∂ p ∂ x + C 2

Isolando C 2 :

C 2 = l R 2 μ ∂ p ∂ x - R 2 4 μ ∂ p ∂ x

Arranjando os termos da expressão de C 2 :

C 2 = R 2 4 μ ∂ p ∂ x 2 l r - 1

Passo 3

Conhecido o valor de C 2 é possível reescrever a expressão de velocidade do Passo 1:

u = r 2 4 μ ∂ p ∂ x + C 2

u = r 2 4 μ ∂ p ∂ x + R 2 4 μ ∂ p ∂ x 2 l r - 1

u = 1 4 μ ∂ p ∂ x r 2 + R 2 2 l R - R 2

Então, o perfil de velocidade é dado por:

u = 1 4 μ ∂ p ∂ x r 2 + 2 l R - R 2

Passo 4

A vazão pode ser calculada a partir de sua definição:

Q = ∫ V → ∙ d A →

Já é conhecido o perfil de velocidade e o elemento diferencial de área d A é referente à seção transversal de uma seção circular, de forma que:

d A = 2 π r d r

Assim, a vazão será obtida a partir da seguinte integração:

Q = ∫ 0 R 1 4 μ ∂ p ∂ x r 2 + 2 l R - R 2 ( 2 π r d r )

Lembrando que μ e ∂ p / ∂ x são constantes:

Q = 1 4 μ ∂ p ∂ x 2 π ∫ 0 R r 3 + 2 l R r - r R 2 d r

Q = 1 4 μ ∂ p ∂ x 2 π r 4 4 + 2 l R r 2 2 - r 2 R 2 2

Q = 1 4 μ ∂ p ∂ x 2 π R 4 4 + 2 l R R 2 2 - R 2 R 2 2

Q = π 2 μ ∂ p ∂ x R 4 4 + l R 3 - R 4 2

Q = π 2 μ ∂ p ∂ x R 4 + 4 l R 3 - 2 R 4 4

Q = π 8 μ ∂ p ∂ x 4 l R 3 - R 4

Colocando R 4 em evidência, a expressão da vazão é escrita como:

Q = R 4 π 8 μ ∂ p ∂ x 4 l R - 1

Passo 5

A partir dos dados numéricos, a vazão é calculada como:

Q = 10 × 10 - 6 4 π 8 × ( 1,84 × 10 - 5 ) ( - 1 × 10 6 ) 4 × 68 × 10 - 9 10 × 10 - 6 - 1

Logo, a vazão é de:

Q = 2,08 × 10 - 10   m 3 / s

Resposta

u = 1 4 μ ∂ p ∂ x r 2 + 2 l R - R 2

Q = R 4 π 8 μ ∂ p ∂ x 4 l R - 1

Q = 2,08 × 10 - 10   m 3 / s

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