Enunciado

Trace as linhas de corrente da Equação ( 8.53 ) no quadrante superior direito para n = 4 . Como a velocidade aumenta com x ao longo do eixo x a partir da origem? Para que ângulo do canto e valor de n esse aumento seria linear em x ? Para que ângulo do canto e valor de n esse aumento seria com x 5 ?

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão!

Antes de tudo, vamos calcular o ângulo de deflexão:

β = 180 ° π ⋅ π n

β 4 = 180 ° π ⋅ π n

β 4 = 45 °

Para o coeficiente n = 4 , teremos um escoamento de canto com 45 ° vamos fazer um esqueminha baseado na figura 8.18 .

ϕ = A r 4 cos ⁡ 4 θ                     ψ = A r 4 sen ⁡ 4 θ

Passo 2

Agora vamos encontrar v r :

v r = 1 r ∂ ψ ∂ θ = 1 r ∂ ∂ θ A r 4 sen ⁡ 4 θ

v r = 4 A r 3 cos ⁡ 4 θ

Ao longo do eixo x temos que:

θ = 0                           r = x

v r = u = 4 A x 3

De maneira geral:

u = n A ⋅ x n - 1

Passo 3

Seguindo a regra anterior, temos:

u = n A ⋅ x n - 1

Como queremos que o sistema seja linear:

n = 2

Da figura 8.18 :

β 2 = 90 °

Passo 4

Pra matar nossa questão de vez, temos que:

β = 180 ° π ⋅ π n

Como queremos algo elevado a quinta potência, n = 6 .

β 6 = 180 ° π ⋅ π 6

β 6 = 30 °

Por fim:

u = 6 A ⋅ x 5

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

β 4 = 45 °                 u 4 = 4 A x 3

β 2 = 90 °

n = 6                 β 6 = 30 °

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