Enunciado

O tronco de 1,2 m de diâmetro (d = 0,80) da Figura P2.94 tem 2,4 m de comprimento e represa água como mostra a figura. Calcule as reações líquidas vertical e horizontal no ponto C.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos um tronco de 1,2   m de diâmetro, 2,4   m de comprimento e densidade 0,80 represando água. O problema pede que a gente calcule as forças de reação hidrostática vertical e horizontal no ponto C.

Pra isso, deem uma olhada no esquema da figura abaixo:

Como vocês podem perceber pela figura aí em cima, pra resolver a questão temos que dividir o tronco em duas geometrias: um semicírculo (pintado de azul) e um quarto de círculo (pintado de laranja), cada um com suas componentes verticais e horizontais das forças hidrostáticas.

As reações vertical ( F C V ) e horizontal ( F C H ) no ponto C podem ser calculada com um balanço das forças hidrostáticas que agem nas duas geometrias nas quais dividimos o tronco, considerando também o peso exercido pelo próprio tronco.

Nos passos seguintes, vamos descobrir como calcular cada uma das componentes das forças hidrostáticas e as reações no ponto C.

Então, vamo lá resolver essa questão juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as componentes horizontais F H 1 . e F H 1 Para isso, devemos imaginar projeções em um ângulo de 90° com relação à direção dessas forças, como nas figuras abaixo.

Primeiro, para a componente horizontal da força hidrostática no semi-círculo:

Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base 2,4   m e altura 1,2   m . Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:

F H 1 =   γ h C G , 1 A p r o j , 1

Sendo: γ o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 N m 3 ; h C G , 1 a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e A p r o j , 1 a área do retângulo projetado.

Dessa forma, temos:

F H 1 = 9790   N m 3 1,2 2   m   1,2   m × 2,4   m = 16.917   N  

De maneira similar, iremos calcular a componente horizontal da força hidrostática no quarto de círculo:

Podemos notar que essa projeção é na verdade um retângulo, de base 2,4   m e altura 0,6   m . Sendo assim, podemos calcular F H 2 :

F H 2 =   γ h C G , 2 A p r o j , 2 = 9790   N m 3 0,6 2   m   0,6   m × 2,4   m

F H 2 = 4.229   N

Passo 3

Agora vamos calcular as componentes verticais F V 1 e F V 2 . Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir do peso da água em cada uma das áreas geométricas que definimos antes, a partir da equação abaixo:

F V =   γ V á g u a

Sendo V á g u a o volume da água no semicírculo ou no quarto de círculo.

Para o semicírculo, teremos:

F V 1 = 9790   N m 3 π ( 0,6   m ) ² 2 × 2,4   m =   13.287   N  

Para o quarto de círculo:

F V 2 = 9790   N m 3 π ( 0,6   m ) ² 4 × 2,4   m =   6.643   N  

Passo 4

E pra finalizar a questão, iremos calcular as forças de reação F C H e F C V no ponto C.

Iremos fazer dois balanços de força: um horizontal e outro vertical, e o sinal das forças nesse balanço será baseado na direção das forças que pode ser observada na figura exposta no Passo 1. Devemos lembrar que, para o tronco estar imóvel, o balanço de forças deve ser igual a zero.

Em primeiro lugar, para as forças horizontais:

F C H + F H 2 - F H 1 = 0   → F C H + 4.229   N - 16.917   N = 0

F C H = 12.688   N

Depois, devemos fazer um balanço de forças para as componentes verticais. Neste caso, devemos contabilizar o peso do tronco, de densidade d = 0,80 :

F C V V + F V 2 + F V 1 - W = 0

→ F C V + 6.643   N + 13.287   N - 0,80 9790   N m 3 π 0,6   m 2 2,4   m = 0

F C V = 1.329   N

Pronto, resolvemos a questão juntos!

Resposta

As as reações líquidas vertical e horizontal no ponto C são, respectivamente, F C V = 1.329   N e F C H = 12.688   N .

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