Enunciado

Um tubo horizontal transporta fluido em escoamento turbulento completamente desenvolvido. A diferença de pressão estática medida entre duas seções é 35 kPa. A distância entre as seções é 10 m e o diâmetro do tubo é 150 mm. Calcule a tensão de cisalhamento, τ w , que atua sobre as paredes.

Passo 1

Neste problema há um escoamento completamente desenvolvido ao longo de um tubo. O objetivo é obter a tensão de cisalhamento ( τ w ) que atua na parede do tubo.

Para isso será necessário o uso da equação de Balanço de Quantidade de Movimento (relação integral) ao longo de um volume de controle, conforme Figura abaixo.

A equação de Balanço de Quantidade de Movimento, aplicada apenas ao longo de x, é definida como:

F x = F s x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ d ∀ + ∫ S C u ρ V → ∙ d A →

E será aplicada ao longo das seções 1 e 2, tendo como hipóteses:

- regime permanente ( ∂ / ∂ t = 0 );

- escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2 );

- escoamento completamente desenvolvido ( u 1 = u 2 ) ;

- seção transversal constante ( A 1 = A 2 ) ;

- escoamento horizontal (força de campo nula - F B x = 0 ).

Passo 2

A partir das hipóteses, a equação de balanço apresentada no Passo 1 pode ser escrita como:

F s x + 0 = 0 + ∫ S C 1 u ρ V → ∙ d A → + ∫ S C 2 u ρ V → ∙ d A →

F s x = - u 1 ρ 1 u 1 A 1 + u 2 ρ 2 u 2 A 2

Em função das hipóteses do problema, pode-se afirma que o fluxo de quantidade de movimento nas superfícies S C 1 e S C 2 são iguais:

u 1 ρ 1 u 1 A 1 = u 2 ρ 2 u 2 A 2

Logo:

F s x = 0

Passo 3

Sabendo que a equação de Balanço de Quantidade de Movimento se reduziu a:

F s x = 0

E que F s x representam as forças de superfície (força devido à pressão e à tensão de cisalhamento), então ela pode ser escrita como:

F s x = p 1 A 1 + τ w × A s u p e r f i a l   d o   t u b o - p 2 A 2 = 0

Nota: sinal positivo no sentido do eixo x.

p 1 π D 2 4 + τ w × ( π D L ) - p 2 π D 2 4 = 0

Então, isolando o termo τ w :

τ w × π D L = p 2 π D 2 4 - p 1 π D 2 4

τ w × π D L = π D 2 4 ( p 2 - p 1 )

Logo:

τ w = D 4 L ( p 2 - p 1 )

Rearranjando o termo de diferença de pressão para escrever o termo queda de pressão ( ∆ p ):

τ w = D 4 L - p 1 - p 2

De forma que a tensão de cisalhamento na parede pode ser escrita como:

τ w = - D ∆ p 4 L

Passo 4

Utilizando os valores numéricos definidos no enunciado ( D = 150   m m ; ∆ p = 35   k P a e L = 10   m ):

τ w = - 150 × 10 - 3 × ( 35 × 10 3 ) 4 × 10

Logo, a tensão de cisalhamento sobre a parede é:

τ w = - 131,25   P a

Atenção: o sinal negativo de τ w indica que a tensão de cisalhamento atua no sentido contráro ao escoamento do fluido.

Resposta

τ w = - 131,25   P a

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