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Tubos de cobre estão fixados à placa absorvedora de um coletor solar plano, conforme mostrado na figura.

A placa absorvedora feita com a liga de alumínio (2024-T6) possui 6 mm de espessura e é isolada termicamente na sua superfície inferior. Há vácuo no espaço que separa a superfície superior da placa e a placa de cobertura transparente. Os tubos encontram-se espaçados entre si por uma distância L de 0,20 m e água escoa nos tubos para remover a energia coletada. A água pode ser suposta estar a uma temperatura uniforme T a = 60°C. Em condições de operação em regime estacionário, nas quais o fluxo radiante líquido na superfície absorvedora é de q r a d ' ' = 800 W/m², quais são a temperatura máxima na placa e a taxa de transferência de calor para a água por unidade de comprimento do tubo? Note que q r a d ' ' representa o efeito líquido da absorção da radiação solar pela placa absorvedora e da troca de radiação entre a placa absorvedora e a placa de cobertura. Você pode supor que a temperatura da placa absorvedora exatamente acima de um tubo seja igual à da água.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício aplicando o princípio da conservação de energia para um volume de controle diferencial na placa absorvedora, que vai de x até x + d x , dessa forma, o calor que entra em x mais a parcela que entra por q r a d ' ' será igual ao calor que sai em x + d x , então, podemos escrever:

q x ' + q r a d ' ' d x = q x + d x '

No entanto, podemos escrever o calor em x pelo princípio de Fourier, já que temos condução, então, teremos:

q x = - k t . d T d x → q x = - k t . d T d x

Podemos escrever agora a parcela de calor em x + d x como sendo o calor em x mais a variação nesse trecho, então, teremos:

q x + d x ' = q x ' + d q x ' d x d x

Então, substituindo as expressões encontradas na equação para o equilíbrio de energia, temos:

q x ' + q r a d ' ' d x = q x + d x ' → q x ' + q r a d ' ' d x = q x ' + d q x ' d x d x

q r a d ' ' d x = d d x - k t . d T d x d x

Simplificando essa expressão, conseguimos chegar em:

q r a d ' ' = - k t d d x d T d x → d 2 T d x 2 = - q r a d ' ' k t

Passo 2

Agora nós vamos integrar a expressão obtida no passo 1 em x , dessa forma, temos:

d T d x = - q r a d ' ' x k t + C 1

Integrando novamente em x , chegamos em:

T x = - q r a d ' ' x 2 2 k t + C 1 x + C 2

Agora precisamos encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 . Para isso, vamos utilizar duas condições de contorno. A primeira delas é que não há gradiente de temperatura em x = L / 2 , então, temos:

x = L 2 → d T d x = 0

Substituindo esses valores na expressão encontrada, temos:

d T d x = - q r a d ' ' x k t + C 1 → 0 = - q r a d ' ' L 2 k t + C 1 → C 1 = q r a d ' ' L 2 k t

A outra condição de contorno é a temperatura da água T w que ocorre para x = 0 , então, substituindo esses valores na equação para o perfil de temperatura, temos:

T 0 = - q r a d ' ' 0 2 2 k t + C 1 0 + C 2 → C 2 = T w

Então, o perfil de temperatura será:

T x = - q r a d ' ' x 2 2 k t + q r a d ' ' L x 2 k t + T w

Passo 3

A temperatura máxima ocorre exatamente no meio dos tubos, ou seja, em x = L / 2 , dessa forma, substituindo esse valor de x na expressão para o perfil de temperatura encontrada no passo 2, temos:

T L 2 = - q r a d ' ' L 2 2 2 k t + q r a d ' ' L L 2 2 k t + T w = - q r a d ' ' L 2 8 k t + q r a d ' ' L 2 4 k t + T w

T m á x = q r a d ' ' L 2 8 k t + T w

Para calcular a temperatura máxima, devemos buscar a condutividade térmica do alumínio na tabela A.1 do apêndice A, então, de lá, temos:

k = 180   W / m . K

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para a temperatura máxima, temos:

T m á x = 800 0,2 2 8 180 0,006 + 60 → T m á x = 63,7   ° C

Agora, para encontrar a taxa de transferência de calor para a água por unidade de comprimento do tubo, como nós temos calor entrando por radiação, será todo esse calor. Só que como temos esse calor por unidade de área, e sabemos que o tubo dissipará calor por todo seu comprimento, temos que multiplicar o fluxo radiante absorvido pelo comprimento do tubo, então, temos:

q ' = - L q r a d ' ' = - 0,2 800 → q ' = - 160   W / m

Resposta

T m á x = 63,7   ° C

q ' = - 160   W / m

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